Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành như sau:

### a) Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn.

1. **Tính độ dài cạnh BC:**
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17.
\]

2. **Tính độ dài AH sử dụng công thức về diện tích tam giác:**
Diện tích \( S \) của tam giác ABC có thể tính bằng:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60.
\]
Cũng có thể tính diện tích \( S \) bằng cách sử dụng đường cao AH:
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH \Rightarrow 60 = \frac{1}{2} \times 17 \times AH.
\]
Giải cho \( AH \):
\[
AH = \frac{120}{17}.
\]

3. **Chứng minh HE là tiếp tuyến tại E:**
Gọi O và F là trung điểm của CD và AE. Ta cần chứng minh \( DE \parallel AB \) và \( HF \perp AE \).
- \( \angle HEO = 90^\circ \) (đây là góc vuông tại H vì AH là đường cao).
- Suy ra \( HE \) vuông góc với AE tại điểm E. Do đó, HE là tiếp tuyến của đường tròn tại E.

### b) Tính độ dài HE:

Sử dụng công thức đã tìm ở trên:
\[
HE = AH = \frac{120}{17}.
\]

### Kết luận:
- Đường HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD tại điểm E.
- Độ dài HE là \( \frac{120}{17} \).

Nếu cần thêm thông tin hay bước giải nào khác, hãy cho mình biết!