Để giải bài toán, chúng ta cần tìm một số \( x \) sao cho khi cộng số \( x \) vào tử số và mẫu số của phân số \( \frac{29}{99} \), ta có được phân số \( \frac{1}{3} \).

Từ yêu cầu trên, ta có phương trình:

\[
\frac{29 + x}{99 + x} = \frac{1}{3}
\]

Ta sẽ nhân chéo để loại bỏ phân số:

\[
3(29 + x) = 1(99 + x)
\]

Tiến hành mở rộng ra:

\[
87 + 3x = 99 + x
\]

Giải phương trình trên, ta đưa các hạng tử chứa \( x \) về một phía:

\[
3x - x = 99 - 87
\]

\[
2x = 12
\]

Chia cả hai bên cho 2:

\[
x = 6
\]

Vậy số cần tìm là \( x = 6 \).

### Kiểm tra kết quả:
Khi thay \( x = 6 \) vào tử số và mẫu số của phân số \( \frac{29}{99} \):

Tử số mới:

\[
29 + 6 = 35
\]

Mẫu số mới:

\[
99 + 6 = 105
\]

Ta có phân số mới là:

\[
\frac{35}{105}
\]

Rút gọn phân số này:

\[
\frac{35 \div 35}{105 \div 35} = \frac{1}{3}
\]

Kết quả xác nhận đúng.

Vậy đáp án là \( x = 6 \).