Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Biết BC' tạo với mặt phẳng AA'BB' 1 góc 45 độ

Để giải bài toán về lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh \(2a\), ta sẽ làm theo từng phần một.

### a) Tính độ dài \(AA'\)

Giả sử:
- Tam giác đều \(A'B'C'\) có đáy nằm trên mặt phẳng \(z = h\) trong hệ tọa độ 3D.
- Đặt các điểm như sau:
- \(A = (0, 0, 0)\)
- \(B = (a, \sqrt{3}a, 0)\)
- \(C = (2a, 0, 0)\)
- \(A' = (0, 0, h)\)
- \(B' = (a, \sqrt{3}a, h)\)
- \(C' = (2a, 0, h)\)

Ta biết rằng \(BC'\) tạo với mặt phẳng \(AA'BB'\ một góc 45^\circ\).
Ta tìm vectơ \(BC'\):

\[
B = (a, \sqrt{3}a, 0) \quad \text{và} \quad C' = (2a, 0, h) \implies BC' = C' - B = (2a - a, 0 - \sqrt{3}a, h - 0) = (a, -\sqrt{3}a, h)
\]

Mặt phẳng \(AA'BB'\) có vectơ pháp tuyến:
- Véc tơ từ \(A\) đến \(A'\) là \(AA' = (0, 0, h)\)
- Véc tơ từ \(A\) đến \(B\) là \(AB = (a, \sqrt{3}a, 0)\)
- Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(AA'BB'\) là tích có hướng của \(AB\) và \(AA'\):

\[
\vec{n} = AB \times AA' = (a, \sqrt{3}a, 0) \times (0, 0, h) = (h\sqrt{3}a, -ha, 0)
\]

Để tính độ dài \(AA'\) (gọi là \(h\)), ta sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ:

\[
\cos(45^\circ) = \frac{BC' \cdot n}{|BC'| |n|}
\]

Tính tích vô hướng:
\[
BC' \cdot n = (a, -\sqrt{3}a, h) \cdot (h\sqrt{3}a, -ha, 0) = (ah\sqrt{3}a + \sqrt{3}ah) = 2ah\sqrt{3}
\]

Tính độ dài của \(BC'\):
\[
|BC'| = \sqrt{a^2 + 3a^2 + h^2} = \sqrt{4a^2 + h^2}
\]

Tính độ dài của \(n\):
\[
n = \sqrt{(h\sqrt{3}a)^2 + (-ha)^2} = \sqrt{3h^2a^2 + h^2a^2} = \sqrt{4h^2a^2} = 2ha
\]

Thay vào công thức với \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[
\frac{2ah\sqrt{3}}{\sqrt{4a^2 + h^2} \cdot 2ha} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Suy ra:
\[
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4 + \frac{h^2}{a^2}}} = \frac{\sqrt{2}}{4}
\]

Giải phương trình trên, từ đó tìm được giá trị của \(h = AA'\).

### b) Tính góc tạo bởi \(MN\) và mặt phẳng \(ABC\), mặt phẳng \(A'B'C'\)

Điểm \(M\) và \(N\):

- Điểm \(M\) (trung điểm của \(AC\)):
\[
M = \left(\frac{0 + 2a}{2}, \frac{0 + 0}{2}, 0\right) = (a, 0, 0)
\]

- Điểm \(N\) (trung điểm của \(BB'\)):
\[
N = \left(\frac{a + a}{2}, \frac{\sqrt{3}a + \sqrt{3}a}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = \left(a, \sqrt{3}a, \frac{h}{2}\right)
\]

Để tìm vectơ \(MN\):
\[
MN = N - M = \left(0, \sqrt{3}a, \frac{h}{2}\right)
\]

Trong mặt phẳng \(ABC\), có giả thiết \((z = 0)\), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \((0, 0, 1)\). Áp dụng công thức tính góc giữa vectơ:
\[
\cos\theta = \frac{MN \cdot \text{n}}{|MN||n|} = \frac{\frac{h}{2}}{|MN|}
\]

Tương tự, để tính góc với mặt phẳng \(A'B'C'\), sử dụng vectơ pháp tuyến tương ứng.

### c) Tính góc giữa \(MN\) và mặt phẳng \(ABB'A'\)

Mặt phẳng \(ABB'A'\) có vectơ pháp tuyến từ vectơ \(AB\) và \(AA'\), sử dụng tích có hướng để tạo vectơ pháp tuyến mới.

Cuối cùng tính góc bằng cách áp dụng công thức giống như các bước trên.

Lưu ý: Công thức tính góc, tính tích vô hướng và các yếu tố khác cần được lặp lại trong chi tiết cụ thể để có kết quả chính xác trong từng phần của bài toán.