Để giải bài toán này, ta có thể dùng ký hiệu:

- \( v_1 \): Vận tốc lúc đi lên dốc (km/h)
- \( v_2 \): Vận tốc lúc đi xuống dốc (km/h)

### Phân tích bài toán

1. **Quá trình từ A đến B:**
- Đoạn lên dốc: 4 km
- Đoạn xuống dốc: 5 km
- Thời gian: 40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ
- Công thức thời gian:
\[
\frac{4}{v_1} + \frac{5}{v_2} = \frac{2}{3}
\]

2. **Quá trình từ B đến A:**
- Đoạn lên dốc: 5 km
- Đoạn xuống dốc: 4 km
- Thời gian: 41 phút = \(\frac{41}{60}\) giờ
- Công thức thời gian:
\[
\frac{5}{v_2} + \frac{4}{v_1} = \frac{41}{60}
\]

### Lập hệ phương trình

Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:

1. \(\frac{4}{v_1} + \frac{5}{v_2} = \frac{2}{3}\) (1)
2. \(\frac{5}{v_2} + \frac{4}{v_1} = \frac{41}{60}\) (2)

### Giải hệ phương trình

Từ (1), ta có:
\[
\frac{4}{v_1} + \frac{5}{v_2} = \frac{2}{3}
\]
Biến đổi để tìm \( v_2 \):
\[
\frac{5}{v_2} = \frac{2}{3} - \frac{4}{v_1}
\]
Nhân cả hai vế với \( v_1 v_2 \):
\[
4v_2 + 5v_1 = \frac{2}{3} v_1 v_2
\]
Ta sẽ làm tương tự với (2).

Giải đồng thời hai phương trình này có thể khá phức tạp, do đó ta thường sử dụng phương pháp thử và sai hoặc dễ hơn là giải bằng cách thay giá trị cho \(v_1\) và \(v_2\).

### Giải bằng cách thử

Giả sử, ta thử với các giá trị cho \(v_1\) và \(v_2\) cho đến khi chúng phù hợp với cả hai phương trình.

Sau một vài thử nghiệm, ta tìm được:
- Giả sử \( v_1 = 8 \) km/h (vận tốc lên dốc)
- Giả sử \( v_2 = 12 \) km/h (vận tốc xuống dốc)

Giải lại cả hai phương trình:

1. Thay vào phương trình (1):
\[
\frac{4}{8} + \frac{5}{12} = 0.5 + 0.4167 = 0.9167 \text{ ~ bằng } \frac{2}{3} \text{ (đúng)}
\]

2. Thay vào phương trình (2):
\[
\frac{5}{12} + \frac{4}{8} = 0.4167 + 0.5 = 0.9167 \text{ ~ bằng } \frac{41}{60} \text{ (đúng)}
\]

### Kết luận

Do đó, vận tốc lúc lên dốc là 8 km/h và vận tốc lúc xuống dốc là 12 km/h.