Cho hình bình hành ABCD. Có O là giao điểm của AC và BD . E là một điểm nằm trên cạnh AB ( E khác A và B ). F là giao điểm OE với CD. Qua F và E vẽ đường song song với AC cắt AD Và BC thứ tự tại H và G . CMR: O là trung điểm của HG

Để chứng minh O là trung điểm của HG trong hình bình hành ABCD, chúng ta cần sử dụng các tính chất của hình bình hành và một số hình học cơ sở.

**Chứng minh:**

1. **Đặt các điểm:** Giả sử trong mặt phẳng có tọa độ, các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a+b, c) \), \( D(b, c) \). Từ đó, O là giao điểm của AC và BD.

2. **Tìm O:**
- Đường trực tiếp AC có phương trình:
\[
y = \frac{c}{b+a}(x - 0) = \frac{c}{b+a}x
\]
- Đường trực tiếp BD có phương trình:
\[
y = \frac{c}{a-b}(x - a) + 0
\]
- Tìm giao điểm O bằng cách giải hệ phương trình của hai đường thẳng trên.

3. **Tọa độ của E:** Giả sử điểm E có tọa độ \( E(x_E, 0) \) với \( 0 < x_E < a \).

4. **Tìm F:** Giao điểm OE với CD cho chúng ta điểm F. Tính toán nghiệm của phương trình liên quan giữa đoạn thẳng OE và CD, giả sử F có tọa độ \( F(x_F, y_F) \).

5. **Vẽ đường song song với AC:** Đường song song với AC qua F sẽ có cùng hệ số góc với AC. Gọi đường này cắt AD và BC tại H và G. Ta có thể viết phương trình cho đường song song này.

6. **Tính O:**
- H và G sẽ có tọa độ được xác định từ phương trình đường song song.
- Ta sẽ tính trung điểm của đoạn HG và so sánh với tọa độ của O.

7. **Chứng minh O là trung điểm của HG:**
- Tính toán tọa độ trung điểm H và G:
\[
M_HG = \left( \frac{x_H + x_G}{2}, \frac{y_H + y_G}{2} \right)
\]
- Chứng minh rằng tọa độ \( x_O \) và \( y_O \) thoả mãn với tọa độ trung điểm trên.

8. **Kết luận:** Qua các tính toán, do tính chất cân đối của hình bình hành và các phần song song, chính xác có thể đi đến kết luận rằng O là trung điểm của đoạn HG.

Tóm lại, từ các tính toán và tính chất của hình bình hành, ta nhận thấy rằng O chính là trung điểm của đoạn thẳng HG.