Tìm m sao cho, \( y = (m-1)x^3 - 3(m-1)x^2 + 3(2m-3)x + m \) nghịch biến trên \( \mathbb{R} \)

Để hàm số \( y = (m-1)x^3 - 3(m-1)x^2 + 3(2m-3)x + m \) nghịch biến trên \( \mathbb{R} \), chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số này và xác định điều kiện để đạo hàm luôn âm.

1. **Tính đạo hàm**:

\[
y' = 3(m-1)x^2 - 6(m-1)x + 3(2m-3)
\]

2. **Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm tới hạn**:

\[
3(m-1)x^2 - 6(m-1)x + 3(2m-3) = 0
\]

3. **Rút gọn phương trình**:

Chia cả phương trình cho 3:

\[
(m-1)x^2 - 2(m-1)x + (2m-3) = 0
\]

4. **Điều kiện để hàm số nghịch biến**:

Để hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \), phương trình bậc 2 này phải không có nghiệm, tức là:

\[
\Delta < 0
\]

Trong đó:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-2(m-1))^2 - 4(m-1)(2m-3)
\]

5. **Tính Delta**:

\[
\Delta = 4(m-1)^2 - 4(m-1)(2m-3)
\]
\[
= 4(m-1) \left( (m-1) - (2m-3) \right)
\]
\[
= 4(m-1)(-m + 2)
\]

Để đảm bảo \( \Delta < 0 \):

\[
4(m-1)(-m+2) < 0
\]

6. **Giải bất phương trình**:

- **Trường hợp 1**: \( (m-1) > 0 \Rightarrow m > 1 \) và \( (-m + 2) < 0 \Rightarrow m > 2 \) (mâu thuẫn).

- **Trường hợp 2**: \( (m-1) < 0 \Rightarrow m < 1 \) và \( (-m + 2) > 0 \Rightarrow m < 2 \).

Kết hợp lại, ta có điều kiện:

\[
m < 1
\]

Vậy giá trị \( m \) để hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \) là \( m < 1 \).