Tính diện tích S của miền nghiệm hệ bất phương trình

Để tính diện tích \( S \) của miền nghiệm của hệ bất phương trình:

1. \( y + x \leq 3 \)
2. \( y - x \leq 3 \)
3. \( y \geq -1 \)

Chúng ta sẽ vẽ các đường thẳng tương ứng với các điều kiện này trên mặt phẳng tọa độ.

### Bước 1: Vẽ các đường thẳng
- Từ bất phương trình \( y + x = 3 \):
\[
y = -x + 3
\]
Đường thẳng này cắt trục y tại \( (0, 3) \) và trục x tại \( (3, 0) \).

- Từ bất phương trình \( y - x = 3 \):
\[
y = x + 3
\]
Đường thẳng này cắt trục y tại \( (0, 3) \) và trục x tại \( (-3, 0) \).

- Bất phương trình \( y \geq -1 \) tương ứng với đường thẳng \( y = -1 \).

### Bước 2: Xác định miền nghiệm
Chúng ta xét các miền phía dưới/ phía trên các đường thẳng:
- Đường \( y = -x + 3 \) giới hạn ở phía dưới.
- Đường \( y = x + 3 \) cũng giới hạn ở phía dưới.
- Đường \( y = -1 \) sẽ tạo một băng ngang cắt qua các miền.

### Bước 3: Tìm các điểm giao nhau
- **Giao của \( y = -x + 3 \) và \( y = x + 3 \)**:
\[
-x + 3 = x + 3 \implies 2x = 0 \implies x = 0 \implies y = 3
\]
Điểm giao: \( (0, 3) \).

- **Giao của \( y = -x + 3 \) và \( y = -1 \)**:
\[
-x + 3 = -1 \implies x = 4 \implies y = -1
\]
Điểm giao: \( (4, -1) \).

- **Giao của \( y = x + 3 \) và \( y = -1 \)**:
\[
x + 3 = -1 \implies x = -4 \implies y = -1
\]
Điểm giao: \( (-4, -1) \).

### Bước 4: Vẽ hình và tính diện tích
Các điểm cực trị tạo thành một tam giác với các đỉnh là:
- \( (0, 3) \)
- \( (4, -1) \)
- \( (-4, -1) \)

#### Tính diện tích của tam giác:
Diện tích của tam giác được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]

Trong trường hợp này, ta có:
- \( (x_1, y_1) = (0, 3) \)
- \( (x_2, y_2) = (4, -1) \)
- \( (x_3, y_3) = (-4, -1) \)

Áp dụng vào công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \left| 0(-1 - (-1)) + 4(-1 - 3) + (-4)(3 - (-1)) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 0 + 4 \cdot (-4) + (-4)(3 + 1) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| -16 - 16 \right| = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16
\]

### Kết luận
Diện tích \( S \) của miền nghiệm hệ bất phương trình là \( \boxed{16} \).