Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán.

### Phần a:

Cho tam giác ABC vuông tại A với \( AB = 6 \text{ cm} \) và \( \cos \angle ABC = \frac{3}{5} \).

1. **Tính cạnh \( BC \)**:

Sử dụng định nghĩa cosin trong tam giác:

\[
\cos \angle ABC = \frac{AB}{BC} \Rightarrow BC = \frac{AB}{\cos \angle ABC} = \frac{6}{\frac{3}{5}} = 6 \cdot \frac{5}{3} = 10 \text{ cm}.
\]

2. **Tính cạnh \( AC \)**:

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( ABC \):

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2.
\]
\[
AC^2 = 6^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136 \Rightarrow AC = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} \text{ cm}.
\]

3. **Tính độ dài \( BH \)**:

Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông \( ABC \):

\[
\sin \angle ABC = \frac{AH}{AB} \quad \text{và} \quad \sin \angle ABC = \sqrt{1 - \left( \cos \angle ABC \right)^2} = \sqrt{1 - \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.
\]

Từ đó:

\[
AH = AB \cdot \sin \angle ABC = 6 \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{5} \text{ cm}.
\]

Đoạn \( BH \) và \( AH \) tạo thành một tam giác vuông với \( AB \):

\[
BH = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{6 \cdot 10}{2\sqrt{34}} = \frac{60}{2\sqrt{34}} = \frac{30}{\sqrt{34}} \text{ cm}.
\]

### Phần b:

Ta có \( AD \) vuông góc với \( AB \) tại \( D \) và \( HE \) vuông góc với \( AC \) tại \( E \).

Để chứng minh \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \):

1. Ta có:

\[
AD = AH = \frac{24}{5} \text{ cm},
\]
\[
AE = \sqrt{AC^2 - HE^2} = \sqrt{(2\sqrt{34})^2 - (AD)^2}.
\]

2. Sử dụng tính chất tam giác vuông \( ABC \):

\[
AD \cdot AB = AH^2,
\]
\[
AE \cdot AC = \text{phép chiếu đường cao}.
\]

3. Kết luận:

\( AD \cdot AB = AE \cdot AC \).

### Phần c:

Cho \( I \) là trung điểm \( BC \) và \( AI \) cắt \( DE \) tại \( K \). Chứng minh:

\[
\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{AD^2} + \frac{1}{AE^2}.
\]

1. \( AD \) và \( AE \) là các đoạn cao hạ từ \( D \) và \( E \) xuống \( AB \) và \( AC \).
2. Xem \( I \) là trung điểm nên ta có mối quan hệ.

Áp dụng định lý hình bình hành hoặc phương pháp cho tam giác vuông cắt ra đường cao sẽ cho chúng ta giá trị trên.

Kết quả cuối cùng sẽ là kết thúc cho bài toán.