Để giải hệ phương trình sau:

1. \( x + my = m + 1 \)
2. \( mx + y = 2m \)

Ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Ở đây, ta sẽ sử dụng phương pháp thế.

Bước 1: Từ phương trình 1, ta giải theo \( x \):

\[
x = m + 1 - my
\]

Bước 2: Thay \( x \) vào phương trình 2:

\[
m(m + 1 - my) + y = 2m
\]

Bước 3: Mở rộng và sắp xếp lại:

\[
m^2 + m - m^2y + y = 2m
\]

\[
m^2 - 2m + m^2y + y = 0
\]

\[
(m^2 + 1y) - 2m = 0
\]

Bước 4: Nhóm lại theo \( y \):

\[
y(m^2 + 1) = 2m \implies y = \frac{2m}{m^2 + 1} \quad (m^2 + 1 \neq 0)
\]

Bước 5: Thay giá trị của \( y \) trở lại vào công thức đã tìm được cho \( x \):

\[
x = m + 1 - m\left(\frac{2m}{m^2 + 1}\right)
\]

Bước 6: Tính toán và sắp xếp cho \( x \):

\[
x = m + 1 - \frac{2m^2}{m^2 + 1} = \frac{(m + 1)(m^2 + 1) - 2m^2}{m^2 + 1}
\]

\[
x = \frac{m^3 + m^2 + m + 1 - 2m^2}{m^2 + 1} = \frac{m^3 - m^2 + m + 1}{m^2 + 1}
\]

Kết luận, nghiệm của hệ phương trình là:

\[
x = \frac{m^3 - m^2 + m + 1}{m^2 + 1}
\]

\[
y = \frac{2m}{m^2 + 1}
\]

Lưu ý: Ta cần điều kiện \( m^2 + 1 \neq 0 \), mà với tất cả m thực thì điều kiện này luôn đúng.