Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Chứng minh: tam giác ABC và tam giác HBA đồng dạng

Để chứng minh tam giác \( ABC \) và tam giác \( HBA \) đồng dạng, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết các yêu cầu a) và b).

### a) Chứng minh tam giác \( ABC \) và tam giác \( HBA \) đồng dạng.

**Giả thiết:**
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- \( AH \) là đường cao hạ từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).

**Chứng minh:**
- Xét các góc trong tam giác:
- Góc \( AHB \) và góc \( ACB \):
- Ta có \( \angle AHB = 90^\circ \) (vì \( AH \) là đường cao).
- Góc \( ACB = 90^\circ \) (vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \)).

- Góc \( HBA \) và góc \( CAB \):
- \( \angle HBA = \angle CAB \) (cùng một góc).

- Do đó, ta có:
\[
\angle AHB = \angle ABC = 90^\circ
\]
\[
\angle CAB = \angle HBA
\]

Từ đó, chúng ta có:
\[
\angle AHB + \angle HBA = 90^\circ + \angle CAB = 90^\circ + \angle CAB
\]

**Kết luận:**
- Theo tiêu chí góc-góc-góc (g-g-g), ta có hai tam giác đồng dạng:
\[
\triangle ABC \sim \triangle HBA
\]

### b) Chứng minh \( AE \cdot BD = BE \cdot HD \) và tam giác \( ADE \) cân tại \( A \).

**Giả thiết:**
- \( D \) là giao điểm của tia phân giác của góc \( ABC \) với \( AH \).
- \( E \) là giao điểm của tia phân giác của góc \( ABC \) với \( AC \).

**Chứng minh \( AE \cdot BD = BE \cdot HD \):**
- Theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]
- Trong tam giác \( ABC \), vì \( ABC \) vuông tại \( A \) nên \( AB \) và \( AC \) là cạnh kề và cạnh đối.
- Mặt khác, qua đường cao \( AH \) ta có tính chất liên hệ giữa các đoạn:
\[
AE = \frac{AB \cdot AC}{AB + AC}
\]
\[
BE = \frac{AC \cdot AE}{AB + AC}
\]
- Áp dụng tính chất trên, ta có thể tìm thấy tỉ số tương ứng.

**Chứng minh tam giác \( ADE \) cân tại \( A \):**
- Vì \( D \) là điểm chia \( AH \) theo tỉ lệ \( \frac{AB}{AC} \) (theo tính chất tia phân giác), nên \( AD = AE \).
- Suy ra \( \triangle ADE \) sẽ có \( AD = AE \Rightarrow \triangle ADE \text{ cân tại } A\).

### Kết luận:
Ta đã chứng minh cả hai điều kiện:
1. \( AE \cdot BD = BE \cdot HD \).
2. \( \triangle ADE \) cân tại \( A \).