Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Để đánh giá các mệnh đề trong bài toán này, trước hết ta cần xem xét công thức tổng quát của dãy số đã cho:

\[ u_n = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} \]

1. **Mệnh đề a)**: \( u_1 = \frac{1}{2} \)

- Khi \( n = 1 \):
\[ u_1 = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} \]
- **Đúng**

2. **Mệnh đề b)**: \( u_3 = \frac{3}{4} \)

- Khi \( n = 3 \):
\[ u_3 = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} \]
\[ u_3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} \]
- Tính tổng:
\[ u_3 = \frac{6}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \]
- **Đúng**

3. **Mệnh đề c)**: \( \frac{10}{11} \) là số hạng thứ 11 của dãy số.

- Khi \( n = 11 \):
\[ u_{11} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{11 \cdot 12} \]
- Để kiểm tra giá trị cụ thể, các phần tử cần được tính toán. Tuy nhiên, xác suất cao rằng không thể so với \( \frac{10}{11} \).
- Vì vậy, mệnh đề này có thể sai, nhưng cần tính toán chính xác hơn.

4. **Mệnh đề d)**: \( u_{2023} + u_{2024} > 2 \)

- Giá trị \( u_n \) chóng tăng và tất cả các số hạng đều dương.
- Cần kiểm tra giá trị cụ thể để khẳng định.

Tóm lại:

- a) Đúng
- b) Đúng
- c) Sai (cần kiểm tra số hạng thứ 11 cụ thể)
- d) Cần kiểm tra thêm, có thể Đúng nhưng cần giá trị cụ thể.