Cho dãy số \( (u_n) \) có số hạng tổng quát \( u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \). Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Để phân tích các mệnh đề, ta sẽ lần lượt xem xét từng mệnh đề một.

Đầu tiên, chúng ta có số hạng tổng quát \( u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \).

### Tính chất của dãy số:
Ta có thể rút gọn \( u_n \) như sau:

\[
u_n = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
\]

Khi \( n \to \infty \), ta thấy \( u_n \to 0 \). Do đó, dãy số này là dãy giảm (tương tự cho \( u_{n+1} < u_n \) khi \( n \) đủ lớn).

### Phân tích các mệnh đề:

**Mệnh đề a)**:

\[
u_{n+1} = \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}
\]
\[
\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = \frac{u_{n+1}}{u_n}
\]

Để đơn giản hóa, ta cần kiểm tra:

\[
\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}}}{\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}} = \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}}
\]

Ta cần xem xét điều này có nhỏ hơn hoặc lớn hơn 1.
Dễ dàng thấy dãy số này giảm. Tóm lại, mệnh đề a) là **Đúng**.

**Mệnh đề b)**:

\[
\frac{u^{2024}}{u^{2023}} = \frac{u_{2024}}{u_{2023}} < 1
\]

Bởi vì dãy số \( (u_n) \) giảm. Mệnh đề b) là **Đúng**.

**Mệnh đề c)**:

Ta có:

\[
u_{2024} < u_{2023}
\]

Đúng vì dãy số giảm. Do đó, mệnh đề c) là **Đúng**.

**Mệnh đề d)**:

Với dãy số \( (u_n) \) đã chứng minh là một dãy giảm và có giới hạn tiến tới 0.
Dãy này là dãy số giảm, vì vậy mệnh đề d) là **Đúng**.

### Kết luận
Tất cả các mệnh đề đều đúng.