Gọi hai chữ số trong số đó là \( a \) và \( b \). Ta có các thông tin sau:

1. Hiệu của hai chữ số là \( a - b = 3 \).
2. Nếu viết chữ số theo thứ tự ngược lại thì số mới là \( 10b + a \), và nó bằng \( \frac{4}{5} \) số ban đầu trừ đi 10. Ta có thể viết phương trình:

\[
10b + a = \frac{4}{5}(10a + b) - 10
\]

Bây giờ, ta giải phương trình này từng bước:

1. Thay \( a = b + 3 \) vào phương trình thứ hai:

\[
10b + (b + 3) = \frac{4}{5}(10(b + 3) + b) - 10
\]

2. Tính bên phải:

\[
10b + b + 3 = \frac{4}{5}(10b + 30 + b) - 10 \\
11b + 3 = \frac{4}{5}(11b + 30) - 10
\]

3. Giải phương trình:

\[
11b + 3 = \frac{44b}{5} + 24 - 10 \\
11b + 3 = \frac{44b}{5} + 14
\]

4. Nhân cả hai bên với 5 để bỏ mẫu:

\[
55b + 15 = 44b + 70 \\
55b - 44b = 70 - 15 \\
11b = 55 \\
b = 5
\]

5. Tính giá trị của \( a \):

\[
a = b + 3 = 5 + 3 = 8
\]

Cuối cùng, ta tính giá trị \( a^2 + b^2 \):

\[
a^2 + b^2 = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89
\]

Vậy \( a^2 + b^2 = 89 \).