Chứng mình rằng (x^n - 1) chia hết cho (x^k - 1) khi và chỉ khi n là bội của k

Để chứng minh rằng \( x^n - 1 \) chia hết cho \( x^k - 1 \) khi và chỉ khi \( n \) là bội của \( k \), ta sẽ thực hiện hai phần: chứng minh điều đó từ "trái qua phải" và từ "phải qua trái".

**1. Chứng minh từ trái qua phải:**

Giả sử \( x^n - 1 \) chia hết cho \( x^k - 1 \). Điều này có nghĩa là tồn tại một đa thức \( Q(x) \) sao cho:
\[
x^n - 1 = (x^k - 1)Q(x).
\]

Đặt \( n = qk + r \), trong đó \( q \) là thương, và \( r \) là dư (với \( r < k \)). Khi đó, ta có:
\[
x^n - 1 = x^{qk + r} - 1 = x^{qk}x^r - 1 = (x^{qk} - 1)x^r + (x^r - 1).
\]
Ta có thể viết:
\[
x^n - 1 = (x^{qk} - 1)(x^r + 1) + (x^r - 1).
\]

Nếu \( x^k - 1 \) chia hết cho \( x^n - 1 \), thì \( x^r - 1 \) cũng phải chia hết cho \( x^k - 1 \). Tuy nhiên, \( r < k \) cho nên nếu \( x^r - 1 = (x^k - 1)P(x) \) thì \( P(x) = 0 \) và \( r = 0 \). Vậy, \( n = qk \) mà \( n \) là bội của \( k \).

**2. Chứng minh từ phải qua trái:**

Giả sử \( n = qk \) với \( q \) là một số nguyên dương, điều này có nghĩa là \( n \) là bội của \( k \). Ta có:
\[
x^n - 1 = x^{qk} - 1.
\]

Theo định lý Fermat, ta có:
\[
x^{qk} - 1 = (x^k - 1)(x^{(q-1)k} + x^{(q-2)k} + \ldots + 1).
\]

Như vậy, \( x^n - 1 \) chia hết cho \( x^k - 1 \).

**Kết luận:**

Ta đã chứng minh được rằng \( x^n - 1 \) chia hết cho \( x^k - 1 \) khi và chỉ khi \( n \) là bội của \( k \).