Giả sử m,n là hai số nguyên lớn hơn 2 chứng minh các đa thức:

Để chứng minh rằng hai đa thức \( f(x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{m-1} \) và \( g(x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{n-1} \) là số nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu \( (m, n) = 1 \), chúng ta sẽ tiến hành qua hai phần: chứng minh điều cần chứng minh theo cả hai hướng.

### Phần 1: Nếu \( (m, n) = 1 \), thì \( f(x) \) và \( g(x) \) là số nguyên tố cùng nhau.

Giả sử \( d \) là một ước chung của \( f(x) \) và \( g(x) \). Theo định nghĩa, ta có:
\[
f(x) = \frac{x^m - 1}{x - 1} \quad \text{và} \quad g(x) = \frac{x^n - 1}{x - 1}.
\]
Nếu \( d \) là ước chung của \( f(x) \) và \( g(x) \), thì \( d \) chia cả \( f(x) \) và \( g(x) \), dẫn đến:
\[
d \mid (x^m - 1) \quad \text{và} \quad d \mid (x^n - 1).
\]
Theo tính chất của bậc và ước chung, \( d \) sẽ chia \( x^{\text{lcm}(m,n)} - 1 \).

Từ \( d \mid (x^m - 1) \) và \( d \mid (x^n - 1) \), từ bất đẳng thức \( \text{gcd}(m, n) = 1 \), có thể suy ra rằng \( d \) cũng phải là một ước của \( x^{\text{lcm}(m,n)} - 1 \). Tuy nhiên, vì \( (m, n) = 1 \), \( \text{lcm}(m,n) = mn \), do đó, ước này sẽ không thể tồn tại trừ khi \( d \) là hằng số.

Vì vậy, \( f(x) \) và \( g(x) \) không có ước chung nào khác ngoài 1, tức là \( f(x) \) và \( g(x) \) là số nguyên tố cùng nhau.

### Phần 2: Nếu \( f(x) \) và \( g(x) \) là số nguyên tố cùng nhau, thì \( (m, n) = 1 \).

Giả sử \( (m, n) \neq 1 \), thì có một số nguyên \( k > 1 \) chia cả \( m \) và \( n \). Khám phá rằng nếu \( d \) là ước của cả \( f(x) \) và \( g(x) \), thì sẽ tồn tại một số nguyên \( x = \zeta \) (là một nghiệm của \( d \)), sao cho \( \zeta^m = 1 \) và \( \zeta^n = 1 \). Điều này dẫn đến việc \( \zeta^{\text{lcm}(m,n)} = 1 \).

Nếu \( k \) là ước của \( m \) và \( n \), thì nó cũng phải là một ước của \( d \), gây ra sự vi phạm rằng \( f(x) \) và \( g(x) \) có ước chung không phải là hằng số.

Vì vậy, chúng ta suy ra rằng \( (m, n) \) phải bằng 1.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được cả hai chiều của bài toán. Do đó, hai đa thức \( f(x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{m-1} \) và \( g(x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{n-1} \) là số nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi \( (m, n) = 1 \).