Để chứng minh rằng B, C, M, N cùng thuộc đường tròn (O), ta thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh rằng B, C, M, N cùng thuộc đường tròn (O)

1. **Xác định các điểm:**
- Ta có tam giác đều \( \triangle ABC \) với cạnh \( a \).
- Gọi \( O \) là trung điểm của \( BC \).
- \( M \) và \( N \) lần lượt là các chân của đường cao hạ từ \( B \) và \( C \) xuống \( AC \) và \( AB \).

2. **Chứng minh độ dài các đoạn:**
- Trong tam giác đều, các đường cao cũng là phân giác và trung tuyến. Do đó, điểm \( O \) chia đoạn \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau.
- Tính độ dài của \( BM \) và \( CN \):
- Đường cao \( BM \) tạo thành hai tam giác vuông: \( \triangle BMA \) và \( \triangle MCA \).
- Tương tự với \( CN \).

3. **Chứng minh B, C, M, N đồng quy trên đường tròn:**
- Ta có \( BM \perp AC \) và \( CN \perp AB \), do đó \( \angle BMA = \angle CNA = 90^\circ \).
- Từ đây, theo định lý về đường tròn ngoại tiếp, 4 điểm \( B, C, M, N \) nằm trên một đường tròn có đường kính là \( BC \).

### Kết luận:
Do đó, ta chứng minh được rằng 4 điểm \( B, C, M, N \) cùng nằm trên đường tròn (O).

---

### b) Xác định G là giao điểm của \( BM \) và \( CN \)

1. **Gọi G là giao điểm của BM và CN:**
- G là điểm mà đường cao từ B và C cắt nhau.

2. **Chứng minh vị trí của G:**
- Vị trí của G sẽ nằm trong hình vuông được tạo thành bởi các cạnh AB và AC.
- Khi G nằm trong tam giác thì điểm A sẽ nằm ngoài đường tròn với đường kính BC.

3. **Chứng minh A nằm ngoài đường tròn:**
- Điểm G là trung điểm của \( BM \) và \( CN \), do đó, G cùng tồn tại trên đoạn thẳng AB và AC.
- Đường tròn có đường kính BC không bao quanh điểm A, vì A không nằm trong hình vuông \( ABC \).

### Kết luận:
Điểm G nằm trong đường tròn có đường kính BC, trong khi điểm A nằm ngoài đường tròn này.

Vậy ta đã hoàn thành bài toán.