Cho sin a - cos a = 1/ 5 ( 90 ° < a < 270 ° ) . Tính giá trị của biểu thức tan 2a ( làm tròn đến một chữ số thập phân)

Để giải phương trình \( \sin a - \cos a = \frac{1}{5} \) với \( 90^\circ < a < 270^\circ \), ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Chuyển đổi biểu thức**:
Ta biết rằng:
\[
\sin a - \cos a = \frac{1}{5}
\]
có thể viết lại thành:
\[
\sin a = \cos a + \frac{1}{5}
\]

2. **Sử dụng công thức lượng giác**:
Sử dụng \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \):
\[
\sin^2 a = (\cos a + \frac{1}{5})^2
\]
Thay vào công thức:
\[
(\cos a + \frac{1}{5})^2 + \cos^2 a = 1
\]
\[
\cos^2 a + \frac{2}{5}\cos a + \frac{1}{25} + \cos^2 a = 1
\]
\[
2\cos^2 a + \frac{2}{5}\cos a - \frac{24}{25} = 0
\]
Nhân cả phương trình với 25 để dễ tính:
\[
50\cos^2 a + 10\cos a - 24 = 0
\]

3. **Giải phương trình bậc hai**:
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
\cos a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = 50, b = 10, c = -24 \):
\[
\Delta = 10^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-24) = 100 + 4800 = 4900
\]
\[
\sqrt{\Delta} = 70
\]
Nghiệm sẽ là:
\[
\cos a = \frac{-10 \pm 70}{100}
\]
\[
\cos a_1 = \frac{60}{100} = 0.6 \quad \text{và} \quad \cos a_2 = \frac{-80}{100} = -0.8
\]

4. **Lựa chọn nghiệm**:
Với \( 90^\circ < a < 270^\circ \), chỉ có nghiệm:
\[
\cos a = -0.8 \quad \Rightarrow \quad a = \cos^{-1}(-0.8) \quad \text{(trong góc thứ hai hoặc thứ ba)}
\]
Tìm \( \sin a \):
\[
\sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6
\]

5. **Tính \( \tan 2a \)**:
Sử dụng công thức:
\[
\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}
\]
Tính \( \tan a \):
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{0.6}{-0.8} = -0.75
\]
Sau đó:
\[
\tan 2a = \frac{2(-0.75)}{1 - (-0.75)^2} = \frac{-1.5}{1 - 0.5625} = \frac{-1.5}{0.4375} = -3.42857
\]

6. **Kết luận**:
Làm tròn đến một chữ số thập phân, ta có:
\[
\tan 2a \approx -3.4
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( \tan 2a \) là \( -3.4 \).