Cho x, y, z > 0. Tìm min P

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{x}{y+z} + \frac{y}{x+z} + \frac{z}{x+y} \), ta có thể áp dụng Định lý Cauchy-Schwarz.

Cụ thể, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có thể viết:

\[
P = \frac{x^2}{xy+xz} + \frac{y^2}{xy+yz} + \frac{z^2}{xz+yz} \geq \frac{(x+y+z)^2}{xy+xz+yz}.
\]

Tính thêm \( xy + xz + yz \) vào và tối ưu hóa sẽ phức tạp hơn.

Bên cạnh đó, ta có thể thay \( x, y, z \) bằng các biến tỉ lệ khác nhau để dễ dàng khảo sát giá trị của biểu thức. Ta thử đặt \( x = y = z \), lúc này \( P = 3 \cdot \frac{x}{2x} = \frac{3}{2} \).

Ta có \( P \) nhỏ nhất bằng \( \frac{3}{2} \) khi \( x = y = z \).

Vì vậy kết luận là:

\[
\text{Giá trị nhỏ nhất } P = \frac{3}{2}.
\]