Để xác định các mệnh đề này đúng hay sai, ta bắt đầu từ thông tin đã cho:

\[
\cos(2\alpha) = \frac{5}{9}
\]

Sử dụng công thức kép, ta có:

\[
\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 \implies 2\cos^2(\alpha) = \frac{5}{9} + 1 = \frac{14}{9} \implies \cos^2(\alpha) = \frac{7}{9} \implies \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{7}}{3}
\]

Từ \(\cos(\alpha)\), ta tính \(\sin(\alpha)\) bằng công thức Pythagore:

\[
\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \implies \sin^2(\alpha) = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9} \implies \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{3}
\]

Tiếp theo, ta tính toán các giá trị tangent và cotangent:

\[
\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{14}}{7}
\]

\[
\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}
\]

Giờ ta xét các mệnh đề:

a) \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{28}}{9} = \frac{2\sqrt{7}}{9}\) - **Sai**.

b) \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{53}}{9}\) - **Sai**.

c) \(\tan \alpha = \frac{\sqrt{371}}{53}\) - **Sai**.

d) \(\cot \alpha = \frac{\sqrt{371}}{14}\) - **Sai**.

Tóm lại, tất cả các mệnh đề đều là **sai**.