Chứng minh rằng \[ \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_m}{y_1 + y_2 + y_3 + \ldots + y_m} = \frac{q}{p} \]

Để chứng minh bất đẳng thức

\[ \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_m}{y_1 + y_2 + y_3 + \ldots + y_m} = \frac{q}{p}, \]

ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Xét cặp số hạng

\[
\left( (x_1 p - y_1 q)^2 + (x_2 p - y_2 q)^2 + ... + (x_m p - y_m q)^2 \right) \leq 0.
\]

Từ giả thiết đề bài, ta có

\[
(x_i p - y_i q)^2 \leq 0 \implies (x_i p - y_i q) = 0 \text{ với mọi } i = 1, 2, ..., m.
\]

Nghĩa là

\[
x_i p = y_i q \text{ cho mọi } i.
\]

Từ đó suy ra:

\[
\frac{x_1}{y_1} = \frac{q}{p}, \frac{x_2}{y_2} = \frac{q}{p}, \ldots, \frac{x_m}{y_m} = \frac{q}{p}.
\]

Thực hiện tổng cả hai vế sẽ có:

\[
\frac{x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_m}{y_1 + y_2 + y_3 + \ldots + y_m} = \frac{\frac{q}{p} \cdot (y_1 + y_2 + ... + y_m)}{y_1 + y_2 + ... + y_m} = \frac{q}{p}.
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[
\frac{x_1 + x_2 + ... + x_m}{y_1 + y_2 + ... + y_m} = \frac{q}{p}.
\]

Do đó, kết luận đã hoàn thành.