Tính A = 1x2 + 2x3 + 3x2 +...+ (n-1) x n

Để tính giá trị các biểu thức A và B, chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### a) Tính \( A = 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 2 + ... + (n-1) \times n \)

Trước tiên, ta nhận thấy rằng biểu thức \( A \) có thể được viết lại như sau:

\[
A = 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 5 + ... + (n-1) \times n
\]

Tổng quát, nó có thể được diễn đạt như sau:
\[
A = \sum_{k=1}^{n-1} k \times (k+1)
\]

Tính từng hạng tử trong tổng:
\[
A = \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + k)
\]

Chúng ta có thể tách tổng này ra:
\[
A = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k
\]

Sử dụng công thức tổng cho tổng các số nguyên:
- Tổng các số nguyên từ 1 đến \( m \) là:
\[
\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}
\]
- Tổng bình phương của các số nguyên từ 1 đến \( m \) là:
\[
\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}
\]

Áp dụng cho \( m = n-1 \):
- \( \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2} \)
- \( \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \)

Do đó, ta có:
\[
A = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2}
\]

Chuyển về cùng tử số:
\[
A = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{3(n-1)n}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1 + 3)}{6} = \frac{(n-1)n(2n + 2)}{6}
\]

Kết quả cuối cùng của \( A \) là:
\[
A = \frac{(n-1)n(n+1)}{3}
\]

### b) Tính \( B = 1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \ldots + (n-1) \times n \times (n+1) \)

Biểu thức \( B \) có thể được viết lại như sau:
\[
B = \sum_{k=1}^{n-1} k \times (k+1) \times (k+2)
\]

Mở rộng hạng tử này:
\[
k(k+1)(k+2) = k^3 + 3k^2 + 2k
\]

Do đó, ta có:
\[
B = \sum_{k=1}^{n-1} (k^3 + 3k^2 + 2k)
\]

Tách ra từng phần:
\[
B = \sum_{k=1}^{n-1} k^3 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k
\]

Áp dụng công thức cho các tổng:
- \( \sum_{k=1}^{m} k^3 = \left( \frac{m(m+1)}{2} \right)^2 \)
- Tổng bình phương và tổng các số như đã nói ở phần (a).

Áp dụng cho \( m = n-1 \):
\[
\sum_{k=1}^{n-1} k^3 = \left(\frac{(n-1)n}{2}\right)^2
\]
\[
= \frac{(n-1)^2 n^2}{4}
\]

Và:
\[
3\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{2}
\]
\[
2\sum_{k=1}^{n-1} k = (n-1)n
\]

Tìm giá trị của mỗi phần:
\[
B = \frac{(n-1)^2n^2}{4} + \frac{(n-1)n(2n-1)}{2} + (n-1)n
\]

Kết hợp lại với nhau:
\[
B = \frac{(n-1)^2n^2 + 2(n-1)n(2n-1) + 4(n-1)n}{4}
\]

Từ đó ra được:
\[
B = \frac{(n-1)n}{4} \left( (n-1)n + 4n - 2 \right)
\]

Với kết quả cuối cùng là:
\[
B = \frac{(n-1)n(n^2 + 3n - 2)}{4}
\]

Điều này hoàn thành việc tính giá trị của \( A \) và \( B \) theo cách tổng quát.