Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ lần lượt giải mỗi phần.

**a) Chứng minh: tam giác ABE = tam giác AME**

Tam giác ABE và tam giác AME có các điểm như sau:
- Điểm A là chung cho cả hai tam giác.
- Ta có \( AB = AM \) (theo đề bài).
- AE là phân giác của góc BAC, nên ta có \( \angle BAE = \angle MAE \).

Do đó, ta có hai tam giác ABE và AME thỏa mãn điều kiện:
- \( AB = AM \)
- \( \angle BAE = \angle MAE \)
- AE là chung

Từ đó, suy ra \(\triangle ABE \cong \triangle AME\) (theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh).

**b) AE cắt BM tại I. Chứng minh: IB = IM**

Từ chứng minh ở phần a, ta có \(\triangle ABE \cong \triangle AME\). Do đó, \(BE = ME\).

Ta xét tam giác \(ABM\):
- Với đoạn thẳng AE cắt BM tại I, chúng ta có tỉ lệ:

\[
\frac{IB}{IM} = \frac{AB}{AM} = 1
\]

Từ đó, dẫn đến \(IB = IM\).

**c) Trên tia đối của EM lấy N sao cho: EN = EC**

Ta chọn N trên tia đối của EM sao cho \(EN = EC\). Điều này có nghĩa là kéo dài đoạn thẳng EM về phía đối diện sao cho đoạn EN bằng đoạn EC.

**d) Chứng minh: A, B, N thẳng hàng**

Xét hai tam giác:
- \(\triangle ABE\) và \(\triangle ANC\)

Từ việc \(EN = EC\) và \(BE = ME\), ta thấy rằng:
- Tam giác \(ABE\) và \(ANC\) đều có chung một góc A.
- Theo phần b, \(IB = IM\) cho thấy rằng hình chiếu của N lên đường thẳng AM sẽ cắt nối tiếp đoạn EM.

Từ đó, ta có:
- Góc \(\angle ABE = \angle ANC\) vì AE là phân giác, \
- Do đó, A, B, N nằm trên một đường thẳng.

Chính vì vậy, \(A, B, N\) thẳng hàng.

Kết thúc, chúng ta đã chứng minh các phần a, b, c, d của bài toán.