Để xác định số lần vật đi qua vị trí cân bằng trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, ta cần tìm giá trị của \(t\) sao cho \(x = 0\).

Phương trình của quãng đường được cho là:
\[
x = 2 \cos(5t - \frac{\pi}{6})
\]

Vật đi qua vị trí cân bằng khi:
\[
2 \cos(5t - \frac{\pi}{6}) = 0
\]

Điều này tương đương với:
\[
\cos(5t - \frac{\pi}{6}) = 0
\]

Giá trị của hàm số cosin bằng 0 khi:
\[
5t - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Ta sẽ giải phương trình trên cho \(t\):
\[
5t = \frac{\pi}{2} + k\pi + \frac{\pi}{6}
\]
\[
5t = \frac{3\pi}{6} + k\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} + k\pi = \frac{2\pi}{3} + k\pi
\]

Chia hai bên cho 5, ta được:
\[
t = \frac{2\pi}{15} + \frac{k\pi}{5}
\]

Tiếp theo, tính ra giá trị của \(t\) cho các giá trị của \(k\) khác nhau và kiểm tra xem sao cho \(t\) nằm trong khoảng \([0, 6]\).

- Với \(k = 0\):
\[
t_0 = \frac{2\pi}{15} \approx 0.4189 \text{ (s)}
\]
- Với \(k = 1\):
\[
t_1 = \frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{15} + \frac{3\pi}{15} = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472 \text{ (s)}
\]
- Với \(k = 2\):
\[
t_2 = \frac{2\pi}{15} + \frac{2\pi}{5} = \frac{2\pi}{15} + \frac{6\pi}{15} = \frac{8\pi}{15} \approx 1.6755 \text{ (s)}
\]
- Với \(k = 3\):
\[
t_3 = \frac{2\pi}{15} + \frac{3\pi}{5} = \frac{2\pi}{15} + \frac{9\pi}{15} = \frac{11\pi}{15} \approx 2.3038 \text{ (s)}
\]
- Với \(k = 4\):
\[
t_4 = \frac{2\pi}{15} + \frac{4\pi}{5} = \frac{2\pi}{15} + \frac{12\pi}{15} = \frac{14\pi}{15} \approx 2.9322 \text{ (s)}
\]
- Với \(k = 5\):
\[
t_5 = \frac{2\pi}{15} + \frac{5\pi}{5} = \frac{2\pi}{15} + 3\pi = \frac{2\pi}{15} + \frac{45\pi}{15} = \frac{47\pi}{15} \approx 6.5615 \text{ (s)} \text{ (không nằm trong khoảng 0-6 giây)}
\]

Từ kết quả trên, ta có các giá trị \(t\) sau trong khoảng từ 0 đến 6:
- \(t_0 \approx 0.4189\)
- \(t_1 \approx 1.0472\)
- \(t_2 \approx 1.6755\)
- \(t_3 \approx 2.3038\)
- \(t_4 \approx 2.9322\)

Mỗi lần đi qua vị trí cân bằng chứng tỏ vật sẽ đi từ một bên (âm) sang bên kia (dương) hoặc ngược lại. Từ mỗi giá trị \(t\), (0, 1, 2, 3, 4) cho thấy vật đi qua vị trí cân bằng 5 lần.

Do đó, trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng **5 lần**.