Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2x + y = m \\
3x - 2y = 5
\end{cases}
\]

**a)** Giải hệ phương trình với \(m = 2\):

Thay \(m = 2\) vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2x + y = 2 \\
3x - 2y = 5
\end{cases}
\]

Từ phương trình thứ nhất, ta có:

\[
y = 2 - 2x
\]

Thay \(y\) vào phương trình thứ hai:

\[
3x - 2(2 - 2x) = 5 \\
3x - 4 + 4x = 5 \\
7x - 4 = 5 \\
7x = 9 \\
x = \frac{9}{7}
\]

Tính \(y\):

\[
y = 2 - 2\left(\frac{9}{7}\right) = 2 - \frac{18}{7} = \frac{14}{7} - \frac{18}{7} = -\frac{4}{7}
\]

Vậy nghiệm của hệ với \(m = 2\) là:

\[
\left(x, y\right) = \left(\frac{9}{7}, -\frac{4}{7}\right)
\]

---

**b)** Tìm \(m\) để hệ có nghiệm \((x, y)\) thoả mãn \(x - y = 2\):

Ta có:

\[
y = x - 2
\]

Thay vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2x + (x - 2) = m \\
3x - 2(x - 2) = 5
\end{cases}
\]

Phương trình đầu tiên:

\[
2x + x - 2 = m \\
3x - 2 = m \\
m = 3x - 2
\]

Phương trình thứ hai:

\[
3x - 2(x - 2) = 5 \\
3x - 2x + 4 = 5 \\
x + 4 = 5 \\
x = 1
\]

Thay \(x = 1\) vào phương trình tìm \(m\):

\[
m = 3(1) - 2 = 1
\]

Vậy \(m\) cần tìm là \(m = 1\).

---

**c)** Tìm giá trị nguyên của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm \(x > 0\) và \(y < 0\).

Từ \(2x + y = m\) và \(3x - 2y = 5\), thay \(y\) vào:

\[
y = m - 2x
\]

Và từ \(3x - 2(m - 2x) = 5\):

\[
3x - 2m + 4x = 5 \\
7x - 2m = 5 \\
7x = 5 + 2m \\
x = \frac{5 + 2m}{7}
\]

Để \(x > 0\):

\[
5 + 2m > 0 \Rightarrow m > -\frac{5}{2}
\]

Ta cũng có:

\[
y = m - 2x < 0 \Rightarrow m - 2\left(\frac{5 + 2m}{7}\right) < 0
\]

Giải bất phương trình trên:

\[
m - \frac{10 + 4m}{7} < 0 \\
7m - 10 - 4m < 0 \\
3m < 10 \Rightarrow m < \frac{10}{3}
\]

\(-2 < m < \frac{10}{3}\)

Giá trị nguyên trong khoảng trên là \(m = -2, -1, 0, 1, 2, 3\).

---

Tóm lại:

- Với \(m = 2\), nghiệm là \(\left(\frac{9}{7}, -\frac{4}{7}\right)\).
- \(m = 1\) để có nghiệm \(x - y = 2\).
- Các giá trị nguyên của \(m\) để có nghiệm \(x > 0\) và \(y < 0\) là \(-2, -1, 0, 1, 2\).