Để chứng minh rằng AC, BD, MP, NQ đồng quy, ta sẽ sử dụng tính chất của hình thoi và một số định lý trong hình học.

1. **Tính chất hình thoi**: Trong hình thoi ABCD, ta có các cạnh AB = BC = CD = DA và các đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của cả hai đường chéo.

2. **Xác định các điểm**:
- Gọi O là điểm giao của hai đường chéo AC và BD.
- Theo giả thiết, ta có MB = NC = PD = QA = k (một độ dài bằng nhau).

3. **Xét tam giác và tỷ lệ**:
- Điểm M nằm trên tia kéo dài BA, điểm N trên tia kéo dài CB, và tương tự cho P và Q.
- Từ tính chất của hình thoi, ta có các tam giác tương ứng: tam giác AOB ~ tam giác MAB và tam giác CBO ~ tam giác NCB. Tương tự với các tam giác còn lại.

4. **Tính chất đồng quy**:
- Theo định lý Ceva, nếu tích các đoạn thẳng được tạo bởi các điểm chia tỷ lệ trên các cạnh của một tam giác (hoặc tứ giác) và các đoạn thẳng không đồng quy với nhau thì sẽ dẫn đến hệ số đồng quy bằng 1.
- Áp dụng cho các tam giác, ta có điều kiện cần và đủ để AC, BD, MP, và NQ đồng quy thông qua các tỷ lệ.

5. **Kết luận**:
- Từ các tính chất đã chứng minh, ta có AC và BD cắt nhau tại O. Với giả thiết MB = NC = PD = QA, suy ra mga dấu hiệu đồng quy cũng xảy ra tại điểm O, chứng tỏ rằng MP và NQ cũng đồng quy tại cùng một điểm O.

Vậy ta có: AC, BD, MP, NQ đồng quy.