Để giải bài toán này, ta cần phân tích cách thức tăng thêm khi viết thêm hai chữ số "65" vào bên phải một số tự nhiên \( x \).

Khi viết thêm "65" vào bên phải một số tự nhiên \( x \), số đó trở thành \( 100x + 65 \).

Theo đề bài, việc viết thêm "65" vào bên phải số tự nhiên \( x \) làm cho số đó tăng thêm 97778 đơn vị. Ta biểu diễn điều này bằng phương trình:

\[
100x + 65 - x = 97778
\]

Giải phương trình này, ta có:

\[
100x + 65 - x = 97778 \implies 99x + 65 = 97778
\]

Trừ 65 từ cả hai vế:

\[
99x = 97778 - 65
\]

Tính giá trị bên phải:

\[
99x = 97713
\]

Chia cả hai vế cho 99 để tìm \( x \):

\[
x = \frac{97713}{99}
\]

Tính giá trị:

\[
x = 987
\]

Vậy số tự nhiên ban đầu là \( 987 \).

### Đáp án:
Số tự nhiên ban đầu là \( 987 \).