Gọi OOO là tâm đường tròn, MMM và NNN là các điểm tiếp xúc của các tiếp tuyến AMAMAM và ANANAN với đường tròn.

1. Tính chất tiếp tuyến: Ta có OM⊥AMOM \perp AMOM⊥AM và ON⊥ANON \perp ANON⊥AN (vì tiếp tuyến tại một điểm vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc).

2. Xét tam giác OMAOMAOMA và ONAONAONA:

   • Ta có OM⊥AMOM \perp AMOM⊥AM và ON⊥ANON \perp ANON⊥AN, suy ra góc OMA=90∘OMA = 90^\circOMA=90∘ và góc ONA=90∘ONA = 90^\circONA=90∘.
   • Từ đó, ta nhận thấy rằng OAOAOA đi qua điểm OOO và tạo thành hai tam giác vuông với các cạnh AMAMAM và ANANAN.

3. Chứng minh OA⊥MNOA \perp MNOA⊥MN:

   • Vì OMOMOM và ONONON là hai đường vuông góc với các tiếp tuyến AMAMAM và ANANAN, nên hai đường thẳng OMOMOM và ONONON nằm trong mặt phẳng chứa MNMNMN và vuông góc với OAOAOA.
   • Do đó, OA⊥MNOA \perp MNOA⊥MN.

1. Vẽ đường kính NCNCNC: Chọn CCC là điểm đối xứng với NNN qua điểm OOO.

2. Chứng minh MC∥AOMC \parallel AOMC∥AO:

   • Ta đã có OA⊥MNOA \perp MNOA⊥MN, suy ra OAOAOA là đường vuông góc với đường thẳng nối hai điểm tiếp xúc.
   • Từ tính chất của đường kính, ta có NCNCNC cũng vuông góc với MNMNMN tại điểm NNN.
   • Vì MCMCMC nằm trên đường kính NCNCNC, mà NCNCNC vuông góc với OAOAOA, nên MCMCMC cũng phải song song với OAOAOA.

Biết rằng OM=3OM = 3OM=3 cm và OA=5OA = 5OA=5 cm.

1. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OMAOMAOMA:

   AM=OA2−OM2=52−32=25−9=16=4 cmAM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}AM=OA2−OM2​=52−32​=25−9​=16​=4 cm

2. Tương tự, ta cũng tính được ANANAN:

   AN=AM=4 cmAN = AM = 4 \text{ cm}AN=AM=4 cm

3. Tính độ dài MNMNMN:

   • Trong tam giác OMNOMNOMN, ta có OM=ON=3OM = ON = 3OM=ON=3 cm, do MMM và NNN là các điểm tiếp xúc. Tính chiều dài MNMNMN bằng cách sử dụng định lý Pythagore:
   MN=AM2+AN2=42+42=16+16=32=42 cmMN = \sqrt{AM^2 + AN^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ cm}MN=AM2+AN2​=42+42​=16+16​=32​=42​ cm

4. Tính chu vi tam giác AMNAMNAMN:

   P=AM+AN+MN=4+4+42=8+42 cmP = AM + AN + MN = 4 + 4 + 4\sqrt{2} = 8 + 4\sqrt{2} \text{ cm}P=AM+AN+MN=4+4+42​=8+42​ cm

Chu vi tam giác AMNAMNAMN là 8+428 + 4\sqrt{2}8+42​ cm.