Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm)

Để chứng minh các kết quả đã cho trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một như sau:

### a) Chứng minh rằng OA ⊥ MN.

- Do \( AM \) và \( AN \) là các tiếp tuyến của đường tròn (O), nên ta có:
- \( OM \perp AM \) (tại điểm tiếp điểm M)
- \( ON \perp AN \) (tại điểm tiếp điểm N)

- Xét tam giác \( OAN \):
- Từ điểm O (trung tâm) đến các tiếp điểm M và N, ta có:
- Điểm M và điểm N đều nằm trên đường tròn, nên \( OM = ON \) (radii của đường tròn).

- Do đó, từ các tính chất đường tròn và các tiếp tuyến, \( OA \) là đường nối từ O đến A, sẽ cắt MN tại trung điểm của MN (điểm I).

- Ta có \( OM \) vuông góc với \( AM \) và \( ON \) vuông góc với \( AN \).
- Do đó, \( OA \) và \( MN \) đều vuông góc với nhau, nên \( OA \perp MN \).

### b) Chứng minh rằng MC // AO.

- Theo phần a), ta đã chứng minh \( OA \perp MN \).
- Từ điểm N xuống đường kính NC, ta thiết lập \( NC \) là đường thẳng đi qua O, và có điểm N là điểm tiếp điểm từ A.
- Ta có góc \( OMN = 90^\circ \) (vì OM là bán kính, MN là tiếp tuyến).
- Từ đó, hai đường thẳng \( MC \) và \( AO \) đều tạo thành 2 cặp góc so le trong, do đó:
- Góc \( OAN = OMN \).
- Do đó, \( MC \) song song với \( AO \) (theo định lý góc so le).

### c) Tính chu vi tam giác AMN với OM = 3cm và OA = 5cm.

1. Ta biết tính chất của tam giác tiếp tuyến, theo định lý Pitago cho tam giác \( AMO \):
\[
OA^2 = OM^2 + AM^2
\]
Thay số vào:
\[
5^2 = 3^2 + AM^2 \implies 25 = 9 + AM^2 \implies AM^2 = 16 \implies AM = 4 \text{ cm}
\]

2. Tương tự cho \( AN \):
\[
OA^2 = ON^2 + AN^2
\]
Do \( ON = OM = 3 \) cm, ta có:
\[
AN^2 = OA^2 - ON^2 = 25 - 9 = 16 \implies AN = 4 \text{ cm}
\]

3. Cuối cùng, để tính chiều dài MN:
- Vì MN là đoạn nối hai điểm tiếp M và N. Theo tính chất của tam giác tiếp tuyến, chúng ta có:
\[
MN = AM + AN = 4 + 4 = 8 \text{ cm}
\]

4. Chu vi tam giác AMN được tính như sau:
\[
P = AM + AN + MN = 4 + 4 + 8 = 16 \text{ cm}
\]

### Kết luận

Tổng quát lại, ta có:
- \( OA \perp MN \) và \( MC \parallel AO \).
- Chu vi tam giác \( AMN = 16 \) cm.