Để giải bài toán này, ta có thể đặt số bi trong túi II là \( x \). Thì số bi trong túi I sẽ là \( 4x \) (vì túi I gấp 4 lần túi II).

Khi chuyển 120 viên bi từ túi I sang túi II, số bi trong hai túi sẽ thay đổi:

- Số bi trong túi I: \( 4x - 120 \)
- Số bi trong túi II: \( x + 120 \)

Theo bài toán, khi chuyển 120 viên bi, số bi trong túi I bằng \( \frac{1}{4} \) số bi trong túi II. Ta có phương trình:

\[
4x - 120 = \frac{1}{4} (x + 120)
\]

Giải phương trình này:

1. Nhân cả hai bên với 4 để bỏ dấu phân số:

\[
4(4x - 120) = x + 120
\]

2. Nhân và đơn giản hóa:

\[
16x - 480 = x + 120
\]

3. Chuyển \( x \) sang bên trái và các hằng số sang bên phải:

\[
16x - x = 120 + 480
\]

\[
15x = 600
\]

4. Chia hai bên cho 15:

\[
x = 40
\]

Do đó, số bi trong túi II là 40, và số bi trong túi I là:

\[
4x = 4 \times 40 = 160
\]

Cuối cùng, tổng số bi An có là:

\[
160 + 40 = 200
\]

Vậy An có **200 viên bi**.