Gọi hai số cần tìm là \( x \) và \( y \). Theo đề bài, ta có:

\[
\frac{x}{y} = \frac{5}{6}
\]

Từ đó, ta có thể viết:

\[
6x = 5y \quad (1)
\]

Nếu thêm 35 vào số thứ nhất và bớt 35 từ số thứ hai, ta có hai số mới là \( x + 35 \) và \( y - 35 \). Theo đề bài, tỷ số của hai số này là nghịch đảo của tỷ số ban đầu:

\[
\frac{x + 35}{y - 35} = \frac{6}{5}
\]

Ta có thể viết lại phương trình này như sau:

\[
5(x + 35) = 6(y - 35) \quad (2)
\]

Giải hai phương trình (1) và (2):

Từ phương trình (1), ta có:

\[
y = \frac{6}{5}x \quad (3)
\]

Thay \( y \) từ (3) vào (2):

\[
5(x + 35) = 6\left(\frac{6}{5}x - 35\right)
\]
\[
5x + 175 = \frac{36}{5}x - 210
\]

Nhân cả hai bên với 5 để loại bỏ mẫu:

\[
25x + 875 = 36x - 1050
\]

Chuyển các số hạng về một bên:

\[
875 + 1050 = 36x - 25x
\]
\[
1925 = 11x
\]

Tính \( x \):

\[
x = \frac{1925}{11} = 175
\]

Thay \( x \) vào phương trình (3) để tìm \( y \):

\[
y = \frac{6}{5} \times 175 = 210
\]

Vậy hai số cần tìm là:

\[
\boxed{175} \text{ và } \boxed{210}
\]