Để chứng minh rằng tứ giác \( AHCK \) là một hình bình hành, ta sẽ sử dụng định nghĩa hình bình hành: một tứ giác là hình bình hành nếu hai cặp cạnh đối điện song song.

### Bằng chứng:

1. **Xem xét các cạnh:**
- \( AB \parallel DC \) (vì tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành).
- \( AH \) vuông góc với \( BD \) (theo đề bài).
- \( CK \) cũng vuông góc với \( BD \) (từ điểm \( C \) vẽ đường thẳng vuông góc với \( BD \)).

2. **Áp dụng tính chất cạnh vuông góc:**
- Do \( AH \) và \( CK \) đều vuông góc với \( BD \), mà \( AH \parallel CK \).

3. **Kết luận:**
- Ta có \( AH \parallel CK \).
- Hơn nữa, \( AC \) và \( HK \) là hai đoạn thẳng liên tiếp trong các cạnh đối diện của tứ giác \( AHCK \).

Do đó, ta có cả hai cặp cạnh đối diện là song song: \( AH \parallel CK \) và \( AC \parallel HK \).

Kết luận, tứ giác \( AHCK \) là một hình bình hành.