Để chứng minh rằng với \( x = \frac{16}{9} \) hoặc \( x = \frac{25}{9} \), giá trị của \( A \) là một số nguyên, ta cần xác định công thức của \( A \) phụ thuộc vào \( x \).

Giả sử \( A \) có dạng:

\[
A = f(x)
\]

Trong trường hợp này, ta có thể thử tính giá trị của \( A \) cho từng giá trị của \( x \).

### 1. Tính cho \( x = \frac{16}{9} \):

Giả sử \( A \) có thể được biểu diễn như sau:

\[
A = kx + m
\]

Trong đó \( k \) và \( m \) là các số nguyên. Ta thay \( x \) bằng \( \frac{16}{9} \):

\[
A = k\left(\frac{16}{9}\right) + m
\]

Điều này có thể viết lại dưới dạng:

\[
A = \frac{16k}{9} + m
\]

Để \( A \) là số nguyên, điều kiện cần là \( 16k + 9m \) phải chia hết cho 9, tức là:

\[
16k + 9m \equiv 0 \, (\text{mod} \, 9)
\]

Ta tính \( 16 \mod 9 \):

\[
16 \equiv 7 \, (\text{mod} \, 9)
\]

Do đó điều kiện trở thành:

\[
7k + 0 \cdot m \equiv 0 \, (\text{mod} \, 9)
\]

Điều này cho thấy \( k \) phải là bội số của 9 để \( A \) là số nguyên. Nếu \( k \) là số nguyên mà thoả mãn điều kiện này, thì \( A \) trở thành một số nguyên.

### 2. Tính cho \( x = \frac{25}{9} \):

Ta cũng tính tương tự:

\[
A = k\left(\frac{25}{9}\right) + m
\]

Viết lại:

\[
A = \frac{25k}{9} + m
\]

Điều kiện cần cho \( A \) là số nguyên cũng giống như trên:

\[
25k + 9m \equiv 0 \, (\text{mod} \, 9)
\]

Tính \( 25 \mod 9 \):

\[
25 \equiv 7 \, (\text{mod} \, 9)
\]

Như vậy điều kiện dễ dàng tương tự:

\[
7k + 0 \cdot m \equiv 0 \, (\text{mod} \, 9)
\]

Kết luận rằng \( k \) cũng cần là bội của 9.

### Kết luận:

Bằng cách trên, ta có thể kết luận rằng để \( A \) là số nguyên với giá trị \( x = \frac{16}{9} \) và \( x = \frac{25}{9} \), cần thiết là \( k \) phải là một số nguyên thoả mãn điều kiện tương ứng. Do đó, khi giá trị của \( k \) thoả mãn, \( A \) là một số nguyên.

Nếu bạn có cụ thể giá trị của \( A \) cho một bài toán nào đó, vui lòng cung cấp thêm để tôi có thể giúp bạn một cách chính xác hơn.