Cho hình chóp S. ABCD đáy hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA=a. Gọi E là trung điểm CD. Tính khoảng cách từ S đến BE theo a

Để tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE, ta cần xác định tọa độ của các điểm trong hệ trục tọa độ phù hợp.

Giả sử chúng ta đặt các điểm như sau trong không gian 3 chiều:

- A(0, 0, 0)
- B(a, 0, 0)
- C(a, a, 0)
- D(0, a, 0)
- S(0, 0, a)

Từ đó, ta có:

- E là trung điểm của CD, nên tọa độ của E là:
\[
E = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{a + a}{2}, 0 \right) = \left( \frac{a}{2}, a, 0 \right)
\]

Tiếp theo, ta cần tìm phương trình đường thẳng BE. Đoạn thẳng BE có thể được xác định bởi điểm B và điểm E. Ta có:

- B(a, 0, 0)
- E\(\left( \frac{a}{2}, a, 0 \right)\)

Vector chỉ phương của BE là:
\[
\overrightarrow{BE} = E - B = \left( \frac{a}{2} - a, a - 0, 0 - 0 \right) = \left( -\frac{a}{2}, a, 0 \right)
\]

Để viết phương trình tham số của đường thẳng BE, ta có thể viết như sau:
\[
\mathbf{r}_{BE}(t) = B + t \cdot \overrightarrow{BE} = \left( a, 0, 0 \right) + t \left( -\frac{a}{2}, a, 0 \right) = \left( a - \frac{at}{2}, at, 0 \right)
\]

Bây giờ, chúng ta cần tìm khoảng cách từ điểm S(0, 0, a) đến đường thẳng BE.

Công thức tính khoảng cách từ một điểm P đến một đường thẳng đi qua hai điểm A và B được xác định như sau:
\[
\text{Distance} = \frac{\| \overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{AB} \|}{\| \overrightarrow{AB} \|}
\]
Trong đó:
- P là điểm S
- A là điểm B
- B là điểm E

Theo đó:
- \( A = (a, 0, 0) \)
- \( B = \left( \frac{a}{2}, a, 0 \right) \)
- \( P = (0, 0, a) \)

Ta có:
\[
\overrightarrow{AP} = P - A = (0, 0, a) - (a, 0, 0) = (-a, 0, a)
\]
\[
\overrightarrow{AB} = B - A = \left( \frac{a}{2}, a, 0 \right) - (a, 0, 0) = \left( -\frac{a}{2}, a, 0 \right)
\]

Bây giờ ta tính tích có hướng:
\[
\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-a & 0 & a \\
-\frac{a}{2} & a & 0
\end{vmatrix}
\]
\[
= \mathbf{i}(0 \cdot 0 - a \cdot a) - \mathbf{j}(-a \cdot 0 - a \cdot -\frac{a}{2}) + \mathbf{k}(-a \cdot a - 0 \cdot -\frac{a}{2})
\]
\[
= \mathbf{i}(-a^2) - \mathbf{j}\left( \frac{a^2}{2} \right) + \mathbf{k}(-a^2)
\]
\[
= (-a^2, -\frac{a^2}{2}, -a^2)
\]

Tính độ dài của nó:
\[
\| \overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{AB} \| = \sqrt{(-a^2)^2 + \left(-\frac{a^2}{2}\right)^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{a^4 + \frac{a^4}{4} + a^4} = \sqrt{\frac{9a^4}{4}} = \frac{3a^2}{2}
\]

Tính độ dài của vector \( \| \overrightarrow{AB} \| \):
\[
\| \overrightarrow{AB} \| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}a
\]

Cuối cùng, ta thay vào công thức để tìm khoảng cách:
\[
\text{Distance} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}a} = \frac{3a}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}a
\]

Vậy khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE là:
\[
\frac{3\sqrt{5}}{5}a
\]