Cho tam giác ABC có đường cao AH và BD. Đường phân giác góc \( HAC \) cắt BD, BC lần lượt tại M và P. Đường phân giác góc \( DBC \) cắt AH, AC lần lượt tại Q và N. CMR: hình MNPQ là hình thoi

Để chứng minh rằng hình MNPQ là hình thoi, ta sẽ sử dụng tính chất của các đường phân giác và tính đối xứng trong tam giác.

1. **Đường phân giác**:
- Đường phân giác góc \( HAC \) chia góc \( HAC \) thành hai góc bằng nhau. Do đó, \( \angle HAM = \angle CAM \).
- Tương tự, đường phân giác góc \( DBC \) chia góc \( DBC \) thành hai góc bằng nhau. Vậy, \( \angle QDB = \angle PDB \).

2. **Cân bằng chiều cao**:
- Do \( AH \) và \( BD \) là các đường cao, \( AH \perp BC \) và \( BD \perp AC \). Điều này cho thấy \( M \) và \( P \) nằm trên đường cao tại các cạnh \( BD \) và \( BC \).

3. **Tính đối xứng**:
- Khi \( M \) và \( P \) được xác định như trên, các đoạn \( AM \) và \( CP \) sẽ có cùng chiều dài (do tính chất của các đường phân giác) và tương tự cho các đoạn \( AQ \) và \( CN \).

4. **Chứng minh các cặp cạnh song song**:
- Nhận thấy rằng \( MQ \) // \( NP \) và \( MP \) // \( NQ \) do tính chất của các góc tạo ra bởi đường phân giác, chúng ta có được 2 cặp cạnh song song.

5. **Kết luận**:
- Để hình MNPQ là hình thoi, ta cần chỉ ra rằng bốn cạnh của nó đều bằng nhau. Điều này đến từ việc các góc ở M và N cũng như P và Q bằng nhau (do tính chất đường phân giác) và các đoạn \( M \) đến \( N \) và \( P \) đến \( Q \) cũng giống nhau.

Từ các bước trên, ta có thể kết luận rằng hình MNPQ là hình thoi.