Cho tam giác ABC đều, G là trọng tâm, đường cao AH. M là một điểm trên cạnh BC và I là trung điểm AM. Gọi D, E là hình chiếu của M lên AB và AC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xem xét từng phần:

### a. Chứng minh hình DIEH là hình thoi

1. **Thiết lập tọa độ và tính chất hình học**:
- Giả sử tam giác ABC đều có ba đỉnh lần lượt tại A(0, h), B(-a, 0), C(a, 0) với h là chiều cao tương ứng.
- Gọi G là trọng tâm của tam giác, và do tính chất đối xứng, tọa độ của G có thể được tính là G(0, h/3).

2. **Hình chiếu**:
- Hình chiếu D của điểm M lên AB và E của điểm M lên AC sẽ cho hai điểm D và E trên hai đường thẳng AB và AC.
- Để chứng minh DIEH là hình thoi, cần chứng minh rằng: Đoạn DE song song với HI và DE = HI.

3. **Phân tích đoạn DE và HI**:
- Do M nằm trên cạnh BC, đoạn DE và HI sẽ có tính chất dựa trên phương pháp hình chiếu.

4. **Kết luận**:
- Khi chứng minh độ dài DE = HI và chúng song song, ta có thể xác định rằng hình DIEH là hình thoi.

### b. Chứng minh IH, DE và MG đồng quy

1. **Tính toán lại các điểm**:
- Xác định tọa độ các điểm I, D, E và H trong hệ tọa độ.

2. **Kiểm tra đồng quy**:
- Sử dụng định lý về các đường thẳng đồng quy (như Cevians hoặc định lý Menelaus) để chứng minh rằng ba đường thẳng IH, DE, và MG gặp nhau tại một điểm duy nhất.

3. **Kết luận**:
- Nếu các phần trên được chứng minh đúng, ta có thể khẳng định rằng IH, DE và MG đồng quy.

### Tổng kết:
Những chứng minh trên dựa vào các tính chất hình học của tam giác đều và các điểm liên quan. Bạn có thể sử dụng các công thức lượng giác, các định lý về tam giác và các kỹ thuật hình học phẳng khác để đi đến kết luận cuối cùng.