Để chứng minh ba điểm A, M, C thẳng hàng trong hình bình hành ABCD với I là trung điểm của CD và BM = 2MI, ta tiến hành theo các bước sau:

1. **Thiết lập tọa độ:**
- Giả sử A(0, 0), B(a, 0), C(a+b, c), D(b, c). Từ đó, ta có I là trung điểm của CD:
\[
I = \left( \frac{a+b}{2}, c \right)
\]

2. **Xác định tọa độ điểm M:**
- Gọi tọa độ điểm M là \( M(x_M, y_M) \) và \( M \) nằm trên đoạn thẳng \( BI \):
- Tọa độ đoạn thẳng \( BI: \)
\[
x = (1-t) a + t \frac{a+b}{2}, \quad y = (1-t) \cdot 0 + t \cdot c \quad (0 \le t \le 1)
\]
- Đặt \( BM = 2MI \):
- Khoảng cách BM là \( BM = \sqrt{(x_M - a)^2 + (y_M - 0)^2} \)
- Khoảng cách MI là \( MI = \sqrt{\left(x_M - \frac{a+b}{2}\right)^2 + (y_M - c)^2} \)

3. **Giải tỉ lệ:**
- Từ điều kiện \( BM = 2MI \), ta thiết lập
\[
BM^2 = 4MI^2
\]

4. **Tìm tỉ lệ giữa tọa độ:**
- Sử dụng điều kiện \( BM^2 = 4MI^2 \) để tìm mối quan hệ giữa tọa độ A, M, C.

5. **Chứng minh đồng phẳng:**
- Áp dụng tích vô hướng:
- Nếu \( \vec{AC} \) và \( \vec{AM} \) có tỉ lệ, tức là:
\[
\vec{AM} = k \vec{AC} \quad (k \in \mathbb{R})
\]
- Thì A, M, C thẳng hàng.

6. **Kết luận:**
Suy ra rằng A, M, C thẳng hàng từ mối quan hệ tọa độ và tích vô hướng.

Vậy ba điểm A, M, C là thẳng hàng.