Để tính biểu thức \( S = \frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 4 + \cdots + \frac{1}{59} \cdot 60 \), ta có thể viết lại nó như sau:

\[
S = \sum_{n=2}^{59} \frac{1}{n} \cdot (n + 1) = \sum_{n=2}^{59} \left(\frac{n + 1}{n}\right)
\]

Ta có thể tách phần tử trong tổng:

\[
S = \sum_{n=2}^{59} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = \sum_{n=2}^{59} 1 + \sum_{n=2}^{59} \frac{1}{n}
\]

Tính từng phần của tổng:

1. Tính \(\sum_{n=2}^{59} 1\):

\[
\sum_{n=2}^{59} 1 = 59 - 2 + 1 = 58
\]

2. Tính \(\sum_{n=2}^{59} \frac{1}{n}\):

Đây là tổng của các phân số từ \(\frac{1}{2}\) đến \(\frac{1}{59}\). Ta có thể tính nó bằng cách khai triển và đơn giản hóa.

Thay vào đó, ta biết rằng:

\[
\sum_{n=1}^k \frac{1}{n} \text{ là tổng số hạng đến } k,
\]
và có thể tìm ra rằng
\[
\sum_{n=2}^{59} \frac{1}{n} = H_{59} - H_{1}
\]

với \( H_k \) là số Harmonic ở \( k \). Với \( H_1 = 1 \) và \( H_{59} \) gần ứng với \(\log(59) + \gamma\) (với \(\gamma\) là hằng số Euler-Mascheroni xấp xỉ 0.577).

Giá trị gần đúng (không tính chính xác của \(\sum_{n=2}^{59} \frac{1}{n}\)) cho chúng ta một gần đúng với các giá trị cho \( H \):

Sử dụng phương pháp số liệu, kiểm tra từ \( H_n \):

Dễ dàng tính toán cho \( H_{59} \) sẽ cho khoảng 4.31.

Cho ước lượng và vì vậy tổng sẽ như sau:

3. Kết hợp lại tổng số:

\[
S \approx 58 + (H_{59} - 1) \approx 58 + 4.31 - 1 = 61.31
\]

Sáng lập dẫn tới kết quả cuối cùng trong vòng tự nhiên:

\[
S \approx 63.31
\]

Kết luận, \( S \) có thể được xác định ước lượng nhưng cách tính chính xác có thể dùng lệnh tính gần hoặc tra cứu bảng số hạng Harmonic.

Giá trị gần chính xác hơn sẽ là:

\[
S = H_{59} - 1 \text{ mà } H_{59} \text{ gần 4.28 }
\]
Kết quả là:

\[
S = 58 + (H_{59} - 1) = 58 + 4.29 \approx 62.29
\]

Vì thế, đến phút cuối sẽ đạt giá trị gần nhất như:

\[
\text{Tổng } S = 62.29.
\]