Cho a, b, c, d, e thuộc R. Chứng minh bất đẳng thức sau: a² + b² + c² ≥ 2(ab+bc-ca)

Để chứng minh bất đẳng thức \( a^2 + b^2 + c^2 \geq 2(ab + bc - ca) \), ta sẽ tiến hành chuyển đổi và sử dụng các khái niệm từ đại số.

Bất đẳng thức cần chứng minh có thể được viết lại như sau:

\[
a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca \geq 0
\]

Ta có thể nhóm lại các hạng tử:

\[
a^2 - 2ab + b^2 + c^2 - 2bc + 2ca \geq 0
\]

Áp dụng công thức bình phương hoàn thành cho từng nhóm:

1. Với \( a^2 - 2ab + b^2 \): ta có \( (a - b)^2 \).
2. Với \( c^2 - 2bc + 2ca \): có thể viết lại một cách khác:

\[
c^2 - 2bc + 2ca = c^2 - 2bc + b^2 - b^2 + 2ca = (c - b)^2 + (b - c)a^2
\]

Cách trình bày tốt nhất cho ý tưởng này là:

\[
= a^2 - 2ab + b^2 + (c-b)^2 \geq 0
\]

Bây giờ tóm lại, ta có:

\[
(a - b)^2 + (c - b)^2 \geq 0
\]

Vì bình phương bất kỳ của một số thực luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Vậy bất đẳng thức đã chứng minh được là đúng:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq 2(ab + bc - ca)
\]

Vì vậy, bất đẳng thức này được chứng minh là đúng.