Để tìm tất cả các số tự nhiên \( n \) khác 0 sao cho tổng \( 1! + 2! + 3! + ... + n! \) là một số chính phương, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Tính toán tổng**: Tính tổng \( S(n) = 1! + 2! + 3! + ... + n! \) cho các giá trị của \( n \) từ 1 trở đi.
2. **Kiểm tra tính chính phương**: Với mỗi giá trị của \( S(n) \), kiểm tra xem nó có phải là một số chính phương hay không. Một số \( x \) là chính phương nếu tồn tại một số nguyên \( m \) sao cho \( m^2 = x \).

**Cụ thể từng bước:**

- Với \( n = 1 \):
\[
S(1) = 1! = 1
\]
\( S(1) = 1 = 1^2 \) (số chính phương)

- Với \( n = 2 \):
\[
S(2) = 1! + 2! = 1 + 2 = 3
\]
\( 3 \) không phải là số chính phương.

- Với \( n = 3 \):
\[
S(3) = 1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9
\]
\( S(3) = 9 = 3^2 \) (số chính phương)

- Với \( n = 4 \):
\[
S(4) = 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33
\]
\( 33 \) không phải là số chính phương.

- Với \( n = 5 \):
\[
S(5) = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 33 + 120 = 153
\]
\( 153 \) không phải là số chính phương.

- Với \( n = 6 \):
\[
S(6) = 153 + 720 = 873
\]
\( 873 \) không phải là số chính phương.

Từ \( n = 7 \) trở đi, do tốc độ tăng của \( n! \) rất lớn nên các tổng sẽ không dễ dàng là số chính phương.

Sau khi thử nghiệm các giá trị từ 1 đến 6, ta thấy chỉ có hai giá trị \( n \) thỏa mãn điều kiện:
- \( n = 1 \)
- \( n = 3 \)

Vậy kết luận là các số tự nhiên \( n \) thỏa mãn là \( n = 1 \) và \( n = 3 \).