Để chứng minh rằng \(abc\) chia hết cho 60, trước hết ta note rằng \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\). Ta sẽ chứng minh rằng \(abc\) chia hết cho 4, 3 và 5.

### 1. Chứng minh \(abc\) chia hết cho 4:

Theo hệ quả từ định lý Pythagore, nếu \(a^2 + b^2 = c^2\), thì ít nhất một trong các số \(a\) hoặc \(b\) phải chẵn (có thể có trường hợp cả hai đều chẵn). Giả sử \(a\) chẵn, thì ta có:

\[
a = 2k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Khi đó:

\[
a^2 = (2k)^2 = 4k^2
\]

Và \(a^2 + b^2 = c^2\) sẽ trở thành:

\[
4k^2 + b^2 = c^2
\]

Suy ra \(b^2\) và \(c^2\) phải đồng nhất mod 4. Do \(b^2 \equiv 0 \) hoặc \(b^2 \equiv 1 \mod 4\), từ đó \(c^2 \equiv 0 \) hoặc \(c^2 \equiv 1 \mod 4\). Vậy cả \(b\) và \(c\) có thể có giá trị chẵn hoặc lẻ, nhưng đối với \(abc\) sẽ chứa ít nhất 2 yếu tố 2, do đó \(abc\) chia hết cho 4.

### 2. Chứng minh \(abc\) chia hết cho 3:

Ta có hai trường hợp:
- Nếu cả \(a\) và \(b\) đều chia hết cho 3, thì \(abc\) cũng chia hết cho 3.
- Nếu một trong hai (a hoặc b) chia hết cho 3 và cái còn lại không, thì \(c^2\) sẽ là 0 mod 3. Do đó, c cũng phải chia hết cho 3.

Tổng quát, tồn tại ít nhất một trong \(a\), \(b\) hoặc \(c\) chia hết cho 3, nên \(abc\) chia hết cho 3.

### 3. Chứng minh \(abc\) chia hết cho 5:

Theo định lý Pythagore, ta phân tích các trường hợp modulo 5. Ta có các hình thức của số nguyên bình phương mod 5 là 0, 1 và 4.

- Nếu \(a\) hoặc \(b\) chia hết cho 5 (tức là \(a^2 \equiv 0 \mod 5\)), thì \(c^2 \equiv b^2 \mod 5\) chắc chắn tồn tại một số \(c\) sao cho \(c \equiv 0 \mod 5\).

Nếu \(a\) và \(b\) không chia hết cho 5, thì do tính chất của số bình phương, ít nhất một trong các số \(0\), \(1\), hoặc \(4\) sẽ được chọn sẽ bị mất và còn lại phải là một số có thể phát sinh một số chia hết cho 5, tức là \(c^2\) phải là 0 mod 5.

### Kết luận:

Từ những phân tích trên, ta có thể kết luận rằng \(abc\) chia hết cho:

- 4 (bởi vì có ít nhất một số chẵn),
- 3 (có ít nhất một số chia hết cho 3),
- 5 (có ít nhất một số chia hết cho 5).

Do đó:

\[
abc \text{ chia hết cho } 60.
\]

Vậy chứng minh đã hoàn tất.