Để tìm tất cả các số nguyên tố \( a, b \) thỏa mãn phương trình \( a^b + b^a = 2011 \), ta có thể tiến hành như sau:

1. **Kiểm tra các số nguyên tố nhỏ**: Xem xét các giá trị cho \( a \) và \( b \), vì 2011 là một số tương đối nhỏ, nên ta chỉ cần kiểm tra các số nguyên tố nhỏ hơn 2011.

2. **Các số nguyên tố nhỏ**: Các số nguyên tố nhỏ là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

3. **Kiểm tra từng cặp (a, b)**: Ta cần kiểm tra các cặp \( (a, b) \) sao cho \( a^b + b^a = 2011 \). Lưu ý rằng \( a \) và \( b \) có thể hoán đổi cho nhau (tức là \( (a, b) \) cũng giống như \( (b, a) \)).

### Tính toán:

Ta sẽ bắt đầu với \( a = 2 \):

- \( b = 2 \) thì \( 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 3 \) thì \( 2^3 + 3^2 = 8 + 9 = 17 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 5 \) thì \( 2^5 + 5^2 = 32 + 25 = 57 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 7 \) thì \( 2^7 + 7^2 = 128 + 49 = 177 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 11 \) thì \( 2^{11} + 11^2 = 2048 + 121 = 2169 \) (quá lớn)

Tiếp theo với \( a = 3 \):

- \( b = 3 \) thì \( 3^3 + 3^3 = 27 + 27 = 54 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 5 \) thì \( 3^5 + 5^3 = 243 + 125 = 368 \) (không thỏa mãn)
- \( b = 7 \) thì \( 3^7 + 7^3 = 2187 + 343 = 2530 \) (quá lớn)

Tiếp tục với \( a = 5 \):

- \( b = 5 \) thì \( 5^5 + 5^5 = 3125 + 3125 = 6250 \) (quá lớn)

Và tiếp tục thử với các số nguyên tố lớn hơn. Sau khi thực hiện các phép tính, ta tìm thấy rằng:

### Kết quả:

Sau khi kiểm tra các cặp, ta tìm thấy cặp là:
- \( a = 3 \) và \( b = 7 \):
\[ 3^7 + 7^3 = 2187 + 343 = 2530 \] (quá lớn)
- \( a = 7 \) và \( b = 3 \):
\[ 7^3 + 3^7 = 343 + 2187 = 2530 \] (quá lớn)

Cuối cùng, không có cặp nào cho ra được 2011.

### Đáp án:

Không tồn tại các số nguyên tố \( a \) và \( b \) thỏa mãn phương trình \( a^b + b^a = 2011 \).