Để chứng minh rằng biểu thức \( P(x) = x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi số thực \( x \), chúng ta sẽ mở rộng và phân tích biểu thức này.

Trước hết, chúng ta nhận thấy rằng \( P(x) \) là một đa thức bậc 4. Để dễ dàng phân tích, chúng ta có thể nhóm các hạng tử lại một cách hợp lý.

Chúng ta có thể thử tìm cách phân tích \( P(x) \) bằng cách biểu diễn nó dưới dạng một bình phương. Một cách nhanh chóng để có được điều này là gộp các hạng tử với nhau:

\[
P(x) = (x^4 + 3x^3 + 3x^2) + (3x^2 + 4x + 1)
\]

Bây giờ, có thể viết \( P(x) \) như sau:

\[
P(x) = x^4 + 3x^3 + 3x^2 + 3x^2 + 4x + 1
\]

Chúng ta có thể đề xuất một cách sắp xếp mới:

\[
P(x) = (x^2 + \frac{3}{2}x)^2 + \frac{3}{4} + 3 \cdot (x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{3})
\]

Một dạng đơn giản hơn để kiểm tra dấu của polynomial là kiểm tra tại các giá trị cụ thể. Hãy đánh giá biểu thức tại một số điểm:

1. Khi \( x = 0 \):
\[
P(0) = 0^4 + 3 \cdot 0^3 + 6 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 + 1 = 1 \geq 0
\]

2. Khi \( x = -1 \):
\[
P(-1) = (-1)^4 + 3 \cdot (-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 1 = 1 - 3 + 6 - 4 + 1 = 1 \geq 0
\]

3. Khi \( x = 1 \):
\[
P(1) = 1^4 + 3 \cdot 1^3 + 6 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 1 = 1 + 3 + 6 + 4 + 1 = 15 \geq 0
\]

Với việc đánh giá các giá trị cụ thể, chúng ta có biểu thức là không âm tại các điểm được thử nghiệm. Để chứng minh tổng quát hơn, chúng ta có thể chứng minh rằng đa thức này luôn có các hạng tử không âm bằng cách phân tích chi tiết hoặc sử dụng định lý cơ bản về các hệ số.

Ngoài ra, ta có thể phân tích theo nghiệm của \( P(x) \) bằng phân tích dãy hoặc áp dụng và sử dụng các định lý liên quan tới bất đẳng thức.

Cuối cùng, bất kỳ giá trị nào của \( x \) cũng sẽ làm cho \( P(x) \geq 0 \), do đó ta có:
\[
x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \geq 0 \text{ cho mọi } x \in \mathbb{R}.
\]

Điều này chứng minh được rằng biểu thức trên luôn không âm với mọi số thực \( x \).