Để giải bài toán này, ta cần làm rõ các phần:

**a) Tìm giá trị của x để M = 0:**

Phân thức \( M \) bằng 0 khi tử số bằng 0. Tức là ta cần giải phương trình sau:

\[
3x^2 + 6x + 12 = 0
\]

Ta có thể tính nghiệm bằng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, \( a = 3, b = 6, c = 12 \):

\[
b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 36 - 144 = -108
\]

Bởi vì discriminant (b^2 - 4ac) nhỏ hơn 0, phương trình trên không có nghiệm thực. Vậy không tồn tại giá trị của \( x \) để \( M = 0 \).

---

**b) Tìm giá trị của x để M = 3:**

Ta cần giải phương trình:

\[
\frac{3x^2 + 6x + 12}{x^3 - 8} = 3
\]

Sắp xếp lại phương trình:

\[
3x^2 + 6x + 12 = 3(x^3 - 8)
\]

Mở rộng ra, ta có:

\[
3x^2 + 6x + 12 = 3x^3 - 24
\]

Đưa mọi hạng tử về một phía:

\[
3x^3 - 3x^2 - 6x - 36 = 0
\]

Chia cả phương trình cho 3:

\[
x^3 - x^2 - 2x - 12 = 0
\]

Ta có thể thử các giá trị của x để tìm nghiệm. Thử \( x = 4 \):

\[
4^3 - 4^2 - 2(4) - 12 = 64 - 16 - 8 - 12 = 28 \quad (not\ a\ root)
\]

Thử \( x = 3 \):

\[
3^3 - 3^2 - 2(3) - 12 = 27 - 9 - 6 - 12 = 0 \quad (is\ a\ root)
\]

Vậy \( x = 3 \) là một nghiệm. Bây giờ chúng ta có thể chia đa thức \( x^3 - x^2 - 2x - 12 \) cho \( (x - 3) \) để tìm các nghiệm tiếp theo. Thực hiện phép chia thì ta có:

\[
x^3 - x^2 - 2x - 12 = (x - 3)(x^2 + 2)
\]

Từ \( x^2 + 2 = 0 \) không có nghiệm thực. Vậy nghiệm thực duy nhất là \( x = 3 \).

---

**c) Tìm giá trị của x để M = \(\frac{1}{3}\):**

Tương tự, ta giải phương trình:

\[
\frac{3x^2 + 6x + 12}{x^3 - 8} = \frac{1}{3}
\]

Sắp xếp lại phương trình:

\[
3(3x^2 + 6x + 12) = x^3 - 8
\]

Mở rộng ra:

\[
9x^2 + 18x + 36 = x^3 - 8
\]

Đưa mọi hạng tử về một phía:

\[
x^3 - 9x^2 - 18x - 44 = 0
\]

Giải bằng phương pháp thử như trước hoặc sử dụng phần mềm hoặc máy tính để tìm nghiệm. Thử \( x = 11 \):

\[
11^3 - 9 \cdot 11^2 - 18 \cdot 11 - 44 = 1331 - 1089 - 198 - 44 = 0
\]

Vậy một nghiệm là \( x = 11 \).

---

**d) Tìm số tự nhiên x để giá trị phân thức M là số nguyên:**

Phân thức M sẽ là số nguyên nếu tử số chia hết cho mẫu số. Ta có:

\[
M = \frac{3x^2 + 6x + 12}{x^3 - 8}
\]

Để \( M \) nguyên, thì \( 3x^2 + 6x + 12 \) phải chia hết cho \( x^3 - 8 \). Xét giá trị của \( x \) là số tự nhiên và thử nghiệm một số giá trị nhỏ (ví dụ \( x = 1, 2, 3, 4 \)) và kiểm tra giá trị của phân thức.

Thử \( x = 2 \):

\[
M = \frac{3(2^2) + 6(2) + 12}{2^3 - 8} = \frac{12 + 12 + 12}{0} \quad (không hợp lệ)
\]

Thử \( x = 1 \):

\[
M = \frac{3(1^2) + 6(1) + 12}{1^3 - 8} = \frac{3 + 6 + 12}{-7} = -3
\]

Thử \( x = 3 \):

\[
M = \frac{3(3^2) + 6(3) + 12}{3^3 - 8} = \frac{27 + 18 + 12}{19} = \frac{57}{19} \quad (không nguyên)
\]

Thử \( x = 4 \):

\[
M = \frac{3(4^2) + 6(4) + 12}{4^3 - 8} = \frac{48 + 24 + 12}{56} = \frac{84}{56} = \frac{3}{2} \quad (không nguyên)
\]

Thử \( x = 5 \):

\[
M = \frac{3(5^2) + 6(5) + 12}{5^3 - 8} = \frac{75 + 30 + 12}{117} \approx 0.91 \quad (không nguyên)
\]

Cuối cùng, bạn sẽ cần khảo sát một số giá trị lớn hơn cho đến khi tìm được \( x \) sao cho \( M \) là số nguyên. Việc này có thể tương đối phức tạp mà không có dữ liệu cụ thể. Một phương pháp khác là tìm cách cho \( x^3 - 8 \) chia hết cho \( 3x^2 + 6x + 12 \) và ngược lại.

Cuối cùng, bạn xác định rằng không có giá trị nào thoải mái cho số nguyên.