Để trả lời câu hỏi của bạn, chúng ta sẽ phân tích một số đặc điểm của hình học trong tam giác vuông cân \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông. Đầu tiên, ta sẽ lưu ý rằng \( AB = AC \) và \( AH \) là đường cao từ đỉnh \( A \) xuống cạnh huyền \( BC \).

1. **Tứ giác \( AHBE \) là hình gì? Vì sao?**

- Tứ giác \( AHBE \) có các đỉnh là \( A \), \( H \), \( B \) và \( E \).
- \( M \) là trung điểm của \( AB \). Do đó, ta có \( AM = MB \).
- \( E \) đối xứng với \( H \) qua \( M \) có nghĩa là \( MH = ME \) và \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( HE \).
- Xét hai đoạn thẳng \( AH \) và \( BE \):
- Ta có \( AM = MB \) và \( MH = ME \).
- Từ đó suy ra, \( AH \perp AB \) và \( BE \perp AB \) (vì \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \)).
- Do \( H \) được chiếu vuông góc xuống \( AB \) trên điểm \( H \) và \( E \) đối xứng với \( H \) qua \( M \) nên \( AE \parallel HB \) và \( AH \parallel BE \).
- Từ đó suy ra tứ giác \( AHBE \) là hình thang vuông vì có hai cặp cạnh song song và một cặp cạnh là các đường thẳng vuông góc với nhau.

2. **Chứng minh \( AEHC \) là hình bình hành.**

- Để chứng minh rằng tứ giác \( AEHC \) là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này song song.
- Trước hết, ta có \( AM = MB \) (do \( M \) là trung điểm của \( AB \)) và \( HE = AH \) (vì \( E \) đối xứng với \( H \) qua \( M \)).
- Vì \( AE = AH \) và \( HC = AC \) (từ tính chất của tam giác vuông cân).
- Đồng thời, vì \( AH \parallel EC \) (do \( A \), \( H \), \( E \), \( C \) là những điểm cùng thuộc trên mặt phẳng có đường thẳng \( AC \)),
- Theo định nghĩa của hình bình hành, ta có được \( AE \parallel HC \) và \( AH \parallel EC \).
- Do đó, tứ giác \( AEHC \) có hai cặp cạnh đối diện song song, nên \( AEHC \) là hình bình hành.

Hy vọng rằng phần giải thích trên sẽ giúp bạn hình dung rõ hơn về bài toán hình học này!