Chứng minh rằng: \( x^2 + 2x + 2 > 0 \) với mọi \( x \)

Để chứng minh rằng bất phương trình \( x^2 + 2x + 2 > 0 \) với mọi \( x \), ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau. Dưới đây là một số phương pháp:

### Phương pháp 1: Tính đạo hàm

Chúng ta có thể sử dụng tính chất của nghịch biến để kiểm tra hàm số.

1. **Tính biên độ**: Hàm số \( f(x) = x^2 + 2x + 2 \) là một hàm bậc hai, với hệ số \( a = 1 > 0 \) (hàm này có đồ thị là một parabol mở lên).

2. **Xét nghiệm giá trị tại đỉnh**:
Công thức tọa độ đỉnh của parabol là \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \).

3. **Tính giá trị tại đỉnh**:
\[
f(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 > 0.
\]

Vì hàm số là một parabol mở lên và giá trị tại đỉnh \( f(-1) > 0 \), nên \( f(x) > 0 \) với mọi \( x \).

### Phương pháp 2: Sử dụng định lý về sự biểu diễn

Hàm số có thể được viết lại theo dạng bình phương như sau:
\[
x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1.
\]

1. **Xét giá trị của thành phần bình phương**:
\((x + 1)^2 \geq 0\) với mọi \( x \), và
\[
(x + 1)^2 + 1 > 0.
\]

Vì thế, \( x^2 + 2x + 2 > 0 \) với mọi \( x \).

### Kết luận

Trong cả hai phương pháp trên, chúng ta đều chứng minh được rằng \( x^2 + 2x + 2 > 0 \) với mọi giá trị của \( x \).