Để xác định điều kiện của tham số \( m \) sao cho điểm \( M\left( m; \frac{m-5}{3} \right) \) nằm bên trong tam giác \( ABC \) với các đỉnh đã cho, ta cần tính diện tích của tam giác và so sánh với diện tích của các tam giác nhỏ hơn được tạo ra với điểm \( M \).

1. **Tính diện tích tam giác \( ABC \)**:
- Các đỉnh là \( A (1, 2) \), \( B (-3, -1) \), và \( C (3, -4) \).
- Công thức tính diện tích \( S \) của tam giác với các tọa độ điểm \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), \( (x_3, y_3) \) là:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]
- Áp dụng vào đỉnh:
\[
S = \frac{1}{2} \left| 1((-1) - (-4)) + (-3)((-4) - 2) + 3(2 - (-1)) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 1 \cdot 3 + (-3)(-6) + 3 \cdot 3 \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 3 + 18 + 9 \right| = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15
\]

2. **Diện tích của tam giác nhỏ hơn**:
- Tính diện tích của các tam giác \( ABM \), \( ACM \), và \( BCM \) với điểm \( M\left( m; \frac{m-5}{3} \right) \):
- Diện tích tam giác \( ABM \):
\[
S_{ABM} = \frac{1}{2} \left| 1\left((-1) - \frac{m-5}{3}\right) + (-3)\left(\frac{m-5}{3} - 2\right) + m\left(2 - (-1)\right) \right|
\]
- Tương tự cho các tam giác \( ACM \) và \( BCM \).

3. **Áp dụng chất lượng diện tích**:
- Để điểm \( M \) nằm bên trong tam giác \( ABC \), tổng diện tích các tam giác nhỏ hơn phải bằng diện tích tam giác lớn:
\[
S_{ABC} = S_{ABM} + S_{ACM} + S_{BCM}
\]

4. **Kết luận**:
- Tìm ra các điều kiện \( m \) từ các bất phương trình liên quan đến diện tích.
- Diện tích của các tam giác nhỏ hơn cần thoả mãn điều kiện với diện tích \( S_{ABC} = 15 \).

Cần cụ thể hóa các tính toán ở trên để có được điều kiện m chính xác.