Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đặt một số biến:

- Gọi A là số ngày mà công nhân thứ nhất làm một mình để hoàn thành công việc.
- Gọi B là số ngày mà công nhân thứ hai làm một mình để hoàn thành công việc.

Theo đề bài, công việc hoàn thành trong 6 ngày nếu cả hai công nhân cùng làm. Do đó, công suất làm việc của cả hai công nhân trong một ngày sẽ là:
\[
\frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{6}
\]

Công nhân thứ nhất làm 4 ngày, tức là công suất của anh ta trong 4 ngày là:
\[
\text{Công việc của công nhân thứ nhất} = 4 \times \frac{1}{A} = \frac{4}{A}
\]

Sau đó, công nhân thứ hai làm 6 ngày, tức là công suất của anh ta trong 6 ngày là:
\[
\text{Công việc của công nhân thứ hai} = 6 \times \frac{1}{B} = \frac{6}{B}
\]

Theo như điều kiện trong đề bài, tổng công việc hoàn thành được là \( \frac{4}{5} \) công việc, ta có:
\[
\frac{4}{A} + \frac{6}{B} = \frac{4}{5}
\]

Từ hai phương trình:
1. \(\frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{6}\)
2. \(\frac{4}{A} + \frac{6}{B} = \frac{4}{5}\)

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[
\frac{1}{B} = \frac{1}{6} - \frac{1}{A}
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
\frac{4}{A} + 6 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{A} \right) = \frac{4}{5}
\]
\[
\frac{4}{A} + 1 - \frac{6}{A} = \frac{4}{5}
\]
\[
\frac{4 - 6}{A} + 1 = \frac{4}{5}
\]
\[
-\frac{2}{A} + 1 = \frac{4}{5}
\]
\[
-\frac{2}{A} = \frac{4}{5} - 1
\]
\[
-\frac{2}{A} = -\frac{1}{5}
\]
\[
\frac{2}{A} = \frac{1}{5}
\]
\[
A = 10
\]

Vậy công nhân thứ nhất làm một mình mất 10 ngày để hoàn thành công việc.

Chúng ta sẽ tìm \( B \):
Thay \( A \) vào phương trình đầu tiên:
\[
\frac{1}{10} + \frac{1}{B} = \frac{1}{6}
\]
\[
\frac{1}{B} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10}
\]

Tìm mẫu số chung:
\[
\frac{1}{B} = \frac{5 - 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}
\]
\[
B = 15
\]

Vậy công nhân thứ hai làm một mình mất 15 ngày để hoàn thành công việc.

Tóm lại:
- Công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc trong 10 ngày.
- Công nhân thứ hai làm một mình xong công việc trong 15 ngày.