Để chứng minh bài toán:

### a) Chứng minh \(AMCN\) là hình bình hành

1. **Xác định vị trí các điểm**: Trong hình bình hành \(ABCD\), ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(CD\).

2. **Chứng minh các cạnh**:
- \(AM = MB\) (bởi vì \(M\) là trung điểm của \(AB\)).
- \(CN = ND\) (bởi vì \(N\) là trung điểm của \(CD\)).

3. **Chứng minh hai cặp cạnh đối song song**:
- Do \(AB \parallel CD\) (tính chất của hình bình hành), khi đó \(AM \parallel CN\) và \(MB \parallel ND\) cũng sẽ do tính chất trung điểm.

4. **Kết luận**: Do cả hai cặp cạnh đối vừa bằng nhau vừa song song, nên \(AMCN\) là hình bình hành.

### b) Chứng minh \(BF = FE = ED\)

1. **Xác định điểm \(F\)**: \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(CM\) với \(BD\).

2. **Xét tam giác**: Ta có tam giác \(CBF\) và \(CDE\):
- \(CM\) là đường thẳng cắt \(BD\), tạo thành các góc đối bằng nhau với các cạnh tương ứng.

3. **Chứng minh các đoạn thẳng**:
- Từ \(F\) thả đường thẳng song song với \(AB\), cắt \(AN\) tại điểm \(G\).
- Nhận thấy rằng do \(F\) nằm trên \(BD\) mà \(AB \parallel FE\), ta có rằng \(BF\) song song với \(ED\).

4. **Kết luận**: Do \(BF\) và \(ED\) song song và \(F\) nằm giữa hai điểm \(B\) và \(E\), ta suy ra rằng \(BF = FE\) và \(FE = ED\).

### Tổng kết:
- Với các kết luận chứng minh, ta đã hoàn thành bài toán yêu cầu.