Để giải phương trình

\[
\frac{1}{x} - x + \frac{2}{x - 2} = -\frac{2}{x(x - 2)}
\]

trước tiên, chúng ta sẽ tìm một mẫu số chung để đưa toàn bộ phương trình về mẫu số chung. Mẫu số chung ở đây là \(x(x - 2)\).

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân toàn bộ phương trình với \(x(x - 2)\) để loại bỏ các phân số:

\[
x(x - 2)\left(\frac{1}{x}\right) - x(x - 2)(x) + x(x - 2)\left(\frac{2}{x - 2}\right) = -2
\]

Khi thực hiện phép nhân, chúng ta có:

\[
(x - 2) - x^2(x - 2) + 2x = -2
\]

Kết hợp lại, chúng ta sẽ có:

\[
x - 2 - x^2(x - 2) + 2x = -2
\]

Biến đổi phương trình sẽ cho ta:

\[
3x - 2 - x^3 + 2x^2 = -2
\]

Bây giờ chuyển các hạng tử sang một phía:

\[
-x^3 + 2x^2 + 3x - 2 + 2 = 0
\]
\[
-x^3 + 2x^2 + 3x = 0
\]

Chia cả phương trình cho -1:

\[
x^3 - 2x^2 - 3x = 0
\]

Yếu tố ra ngoài:

\[
x(x^2 - 2x - 3) = 0
\]

Ta có thể giải được hai trường hợp:

1. \(x = 0\)
2. Giải phương trình \(x^2 - 2x - 3 = 0\)

Sử dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc 2 \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}
\]
\[
= \frac{6}{2} = 3 \text{ hoặc } \frac{-2}{2} = -1
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = 0, \quad x = 3, \quad x = -1
\]

Chúng ta cần kiểm tra lại từng nghiệm để chắc chắn rằng chúng không làm mẫu số bằng 0 trong phương trình gốc:

1. Với \(x = 0\): Gây ra mẫu số bằng 0.
2. Với \(x = 3\): Không gây ra mẫu số bằng 0.
3. Với \(x = -1\): Không gây ra mẫu số bằng 0.

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\) và \(x = -1\).