Để chứng minh rằng \( OA + OB + OC + OD + OE = 0 \) với \( O \) là tâm của ngũ giác đều \( ABCDE \), ta sẽ sử dụng tọa độ phức hoặc phương pháp vectơ.

### Chứng minh bằng phương pháp vectơ:

1. **Tọa độ và vectơ**:

Gọi \( A, B, C, D, E \) lần lượt là các đỉnh của ngũ giác đều với bán kính \( R \). Vì có tâm \( O \), nên ta có thể coi \( O \) là gốc tọa độ (0, 0).

Các điểm \( A, B, C, D, E \) có thể được biểu diễn trong mặt phẳng phức (hoặc trên mặt phẳng tọa độ) như sau:
- \( A = R(\cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}) \)
- \( B = R(\cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}) \)
- \( C = R(\cos \frac{6\pi}{5} + i \sin \frac{6\pi}{5}) \)
- \( D = R(\cos \frac{8\pi}{5} + i \sin \frac{8\pi}{5}) \)
- \( E = R(\cos \frac{10\pi}{5} + i \sin \frac{10\pi}{5}) \)

2. **Tính tổng vectơ**:

Tổng các vectơ từ \( O \) đến các đỉnh:
\[
OA + OB + OC + OD + OE = R(\cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}) + R(\cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}) + R(\cos \frac{6\pi}{5} + i \sin \frac{6\pi}{5}) + R(\cos \frac{8\pi}{5} + i \sin \frac{8\pi}{5}) + R(\cos \frac{10\pi}{5} + i \sin \frac{10\pi}{5})
\]

Ta biết rằng các giá trị \( \cos \) và \( \sin \) của các góc đều có tính chất đối xứng trong một ngũ giác đều. Thực tế:
- Tổng các thành phần \( \cos \) là 0.
- Tổng các thành phần \( \sin \) cũng là 0.

3. **Kết luận**:

Do đó, ta có:
\[
OA + OB + OC + OD + OE = 0
\]
Như vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu.