Để tính \( \cot 2x \) khi biết \( \sin x = \frac{1}{5} \) và \( \frac{\pi}{2} < x < \pi \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Tính \( \cos x \)**:
Sử dụng định nghĩa \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):
\[
\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}
\]
Do \( \frac{\pi}{2} < x < \pi \), thì \( \cos x < 0 \):
\[
\cos x = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{\sqrt{24}}{5} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}
\]

2. **Tính \( \tan x \)**:
\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{1}{5}}{-\frac{2\sqrt{6}}{5}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12}
\]

3. **Tính \( \cot 2x \)**:
Sử dụng công thức \( \cot 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} \) có thể viết lại dưới dạng:
\[
\cot 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{2\tan x}
\]
Tính \( \tan^2 x \):
\[
\tan^2 x = \left(-\frac{\sqrt{6}}{12}\right)^2 = \frac{6}{144} = \frac{1}{24}
\]
Thay vào công thức:
\[
\cot 2x = \frac{1 - \frac{1}{24}}{2 \cdot -\frac{\sqrt{6}}{12}} = \frac{\frac{23}{24}}{-\frac{\sqrt{6}}{6}} = -\frac{23 \cdot 6}{24 \cdot \sqrt{6}} = -\frac{23}{4\sqrt{6}}
\]

4. **Kết luận**:
\[
\cot 2x = -\frac{23}{4\sqrt{6}}
\]

Do đó, đáp án cuối cùng là:
\[
\cot 2x = -\frac{23}{4\sqrt{6}}
\]